Função Exponencial

por @Grazi_elly Qua 08 Abr 2020, 22:25

ITA Considere a equação (a^x - a^-x)/(a^x + a^-1) = m, na variável x, com 0 < a diferente de 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é:

por AlvaroLSL Qua 08 Abr 2020, 23:45

m = (a^x-a^-x)/(a^x+a^-x), multiplicando o denominador e numerador por a^x
m = (a^2x-1)/(a^2x+1)
Como (a^2x-1)= (a^2x +1) - (2), m = [(a^2x +1) - (2)]/(a^2x+1) = (a^2x +1)/(a^2x+1) - 2/(a^2x+1)
Assim, m = 1 -2/(a^2x - 1).
Para o caso em que a^2x tende a 0, m ≈ 1 - 2/(0+1) = -1. Ou seja, m ≈ -1. (m > -1, mas se aproxima muito de -1)
Para o caso em que a^2x tende a ∞, m = 1 - 2/(∞+1) = 1 - 2/(∞) ≈ 1. Ou seja, m ≈ 1. (m < 1, mas se aproxima muito de 1)
Note que m pode ser 0, pois o numerador teria de ser nulo.
(a^x-a^-x) = 0 ⇒ a^x = a^-x ⇒ a = 1 ou x = 0.
O enunciado diz que a ≠ 1, mas não limita os valores de x.
Desse modo, -1 < m < 1.
LETRA C

por **Elcioschin** Qui 09 Abr 2020, 00:35

a^x - 1/a^x .... [(a^x)² - 1]/a^x---- (a^x)² - 1
----------- = ----------------- = ----------- = m
a^x + 1/a^x... [(a^x)² + 1]/a^x.....(a^x)² + 1

(a^x)² - 1 = m.(a^x)² + m ---> (a^x)².(1 - m) = m + 1 --->

(a^x)² = (m + 1)/(1 - m) --->

O 1º membro é sempre positivo, logo ---> (m + 1)/(1 - m) > 0

Tabela de sinais (varal):

....................... -1 ................... 1 ...................
m+1 ------------- 0 +++++++++++++++++++
1-m ++++++++++++++++++ 0 ---------------

a > 0 , a ≠ 1

por @Grazi_elly Qui 09 Abr 2020, 16:18

Então você faz que (m+1)(1-m) será positivo porque a^x está elevado ao quadrado e todo número elevado ao quadrado será positivo...? (só pra confirmar)

por **Elcioschin** Qui 09 Abr 2020, 18:19

Pelo enunciado a > 0 ---> a é positivo

Qualquer base positiva elevado a qualquer expoente x real é sempre positivo
E ainda assim, elevado ao quadrado, também será positivo

por @Grazi_elly Sex 10 Abr 2020, 17:13

Mas no enunciado é dito que 0 < a diferente de 1. Então não deveríamos testar como a diferente de 1?

por AlvaroLSL Sex 10 Abr 2020, 18:02

O enunciado só nos diz que a ≠ 0 para não gerar 2 respostas. Pois, para todos a>0 e a ≠ 1, o intervalo ao qual m pode pertencer é (-1,1), mas, para o caso que a>0 e a = 1, o intervalo ao qual m pertence é [0]. Além do mais, o caso que m = 0 ocorre quando x = 0, ou seja, não interfere na resposta.