Fatoração e produtos notáveis

por David lameira Qua 04 Mar 2020, 09:59

Se a^{3} + b^{3} =4 e ab= \frac{2}{3}, em que a e b são reais, determine o valor de a+b

Resposta: 2

por **Elcioschin** Qua 04 Mar 2020, 10:23

Seja a + b = k ---> I

(a + b)² = k² --> a² + 2.a.b + b² = k² -->a² + 2.(2/3) + b² = k² -->
a² + b² = k² - 4/3 ---> II

(a² + b²).(a + b) = a³ + b³ + a.b.(a + b) --->

(k² - 4/3).k = 4 + (2/3).k ---> k³ - (4/3).k = 4 + (2/3).k --->

k³ - 2.k - 4 = 0

Teorema das raízes racionais ---> Prováveis raízes: ± 1, 2, 4

Testando, a raiz 2 atende ---> k = 2 --> a + b = 2

por David lameira Qua 04 Mar 2020, 12:12

Sou do 9o.ano, tem como terminar esse problema por outro método, pois ñ aprendi teorema de raízes ainda?

por **Elcioschin** Qua 04 Mar 2020, 14:54

(a + b)² = a² + b² + 2.a.b ---> (a + b)² = (a² + b²) + 4/3

(a + b)³ = a³ + b³ + 3.a.b.(a + b) --->

(a + b)³ = 4 + 3.(2/3).(a + b) --->

(a + b)³ - 2.(a + b) = 4 ---> (a + b).[(a + b)² - 2] = 4

Possibilidades inteiras: (1, 4), (2, 2), (4, 1)

Vou testar (2, 2) e você testa as outras:

a + b = 2 ---> I

(a + b)² - 2 = 2 ---> (a + b)² = 4 ---> a + b = 2