Equações Diferenciais
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Equações Diferenciais
por Daiianna Sex 11 Out 2019, 18:13
Guidorizzi vol 1- Capítulo 14.5
6. A reta tangente ao gráfico e y= f(x), no ponto (x,y), intercepta o eixo y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f(1)=1.
7. Determine a curva que passa por (1,2) e cuja reta tangente em (x,y) intercepta o eixo x no ponto da abscissa x/2.
8. Um corpo de massa 70 Kg cai de repouso e as única forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após o início da queda a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade no instante t. (Suponha a aceleração da gravidade igual a 10 m/s^2)
6. A reta tangente ao gráfico e y= f(x), no ponto (x,y), intercepta o eixo y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f(1)=1.
7. Determine a curva que passa por (1,2) e cuja reta tangente em (x,y) intercepta o eixo x no ponto da abscissa x/2.
8. Um corpo de massa 70 Kg cai de repouso e as única forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após o início da queda a sua velocidade é de 8 m/s, determine a velocidade no instante t. (Suponha a aceleração da gravidade igual a 10 m/s^2)
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Re: Equações Diferenciais
por Matemathiago Ter 15 Out 2019, 13:18
6)
Vou considerar o ponto (x0,y0)
f'(x0)x + b = y (eq da reta)
Mas, f'(x0).x + b = x0y0 em x=0
logo, b = x0y0
entao a equação da reta é:
f'(x0)x + x0y0 = y
Mas:
f(x0) = f'(x0).x0 + x0f(x0)
f(x0)(1-x0) = f'(x0).x0
f'(x0)/f(x0) = 1/x0 - 1
f'(x)/f(x) = 1/x - 1
ln(f(x)) = lnx - x + C
Como f(1) = 1: C=1
Logo:
f(x) = e^(lnx - x +1) = x.e^(1-x)
7)
f'(x0).x + b = y (reta tangente)
y=0 implica x= x0/2
f'(x0).xo/2 = -b
b = -f'(x0)x0/2
Entao y = xf'(x0) - f'(x0)x0/2 = y
Mas, no ponto (x0,y0), a reta tangente tem coordenadas igual a f(x0)=y
Dai:
f(x) = xf'(x) - xf'(x)/2
f(x) = xf'(x)/2
f'(x)/f(x) = 2/x
lnf(x) = 2lnx + C
Como x = 1 implica f(x) = 2:
c = ln2
Dai:
ln f(x) = ln(2x²)
f(x) = 2x²
F = mg - kv²
a = g - kv²/m
dv/dt = g - kv²/m
dt = dv/(g-kv²/m)
Daí basta integrar de t0 até t e de v0 até v
Vou considerar o ponto (x0,y0)
f'(x0)x + b = y (eq da reta)
Mas, f'(x0).x + b = x0y0 em x=0
logo, b = x0y0
entao a equação da reta é:
f'(x0)x + x0y0 = y
Mas:
f(x0) = f'(x0).x0 + x0f(x0)
f(x0)(1-x0) = f'(x0).x0
f'(x0)/f(x0) = 1/x0 - 1
f'(x)/f(x) = 1/x - 1
ln(f(x)) = lnx - x + C
Como f(1) = 1: C=1
Logo:
f(x) = e^(lnx - x +1) = x.e^(1-x)
7)
f'(x0).x + b = y (reta tangente)
y=0 implica x= x0/2
f'(x0).xo/2 = -b
b = -f'(x0)x0/2
Entao y = xf'(x0) - f'(x0)x0/2 = y
Mas, no ponto (x0,y0), a reta tangente tem coordenadas igual a f(x0)=y
Dai:
f(x) = xf'(x) - xf'(x)/2
f(x) = xf'(x)/2
f'(x)/f(x) = 2/x
lnf(x) = 2lnx + C
Como x = 1 implica f(x) = 2:
c = ln2
Dai:
ln f(x) = ln(2x²)
f(x) = 2x²
F = mg - kv²
a = g - kv²/m
dv/dt = g - kv²/m
dt = dv/(g-kv²/m)
Daí basta integrar de t0 até t e de v0 até v
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