(FGV-RJ) Geometria Analítica

por RobsonR Seg 30 Set 2019, 20:51

No plano cartesiano são dados os pontos A = (-3, 1) e B = (4, 5). A reta r de equação kx - y + 2 = 0 é variável, pois sua posição depende do coeficiente real k.

a) Determine para que valores de k os pontos A e B ficam de um mesmo lado da reta r.
b) Determine para que valor de k os pontos A e B ficam Equidistantes da reta r.

por Emersonsouza Seg 30 Set 2019, 21:46

A e B formam uma reta na qual chamareei de s .
O cieficiente angular de s é:
Ms= (5-1)/(4-(-3))--> Ms= 4/7
B) supondo A B simétricos temos sperpendicular a r,então, neste caso , vale a seguinte relaçao :
Mr*Ms=-1--> Mr= -7/4

Podemos ter também a seguinte situaçao :

Para este caso aplicamos a a realação da distancia entre reta e ponto .
d= |kx-y+2|/V(k^2 +1)--> d= |4k -5+2|/V(k^2+1)
E
d= |-3k -1 +2|/V(k^2+1)
d=d--> |4k -5+2|/V(k^2+1) = |-3k-1 +2|/V(k^2+1)--> |4k-5+2|=|-3k-1+2|
|4k-3|=|-3k+1| --> basta terminar

A) se A e B € r ,então ao colocarmos as coordenadas de A e B na equaçao r o resultado dará zero .
Mas,como a questão pede A e B do mesmo lado , podemos dizer que os pontos estão encima de r ou abaixo de r .
Encima de r temos :
Para B.
Y=kx+2 --> 4k+2<5 --> k<3/4
E
Para A ---> 1/3 < K< 3/4
-3x+2<1 --> K>1/3
Para A e B abaixo, as coordenadas de r são maiores que A e B.
Para A.
-3k+2>1--> -3k>-1--> K<1/3
Para B.
4k+2>5--> k>3/4
Como 3/4>1/3 --> não há valores neste caso.

Bom,acho que isso, vamos ver se algum colega concorda com essa resposta,pois eu não tenho muita certeza.

por **Elcioschin** Ter 01 Out 2019, 00:22

a)

r: Mr = 4/7

s: y = k.x + 2 ---> Passa por P(0, 2)

Reta por A(-3, 1) e P(0, 2) --> m = 1/3 --> y - 2 = (1/3).(x - 0) --> y = (1/3).x + 2 --> k = 1/3

Reta por B(4, 5) e P(0, 2) --> m = 3/4 --> y - 2 = (3/4).(x - 0) --> y = (3/4).x + 2 ---> k = 3/4

Notem que se reta s for paralela à reta r ---> k = 4/7 ---> Esta reta atende

1/3 < 4/7 < 3/4 --> Devemos pois ter 1/3 < k < 3/4

por **Medeiros** Ter 01 Out 2019, 02:33

B) k para pontos A(-3, 1) e B(4, 5) equidistantes de r: kx - y + 2 = 0

d(A, r) = d(B, r)

| -3k - 1 + 2 |/√(k² + 1) = | 4k - 5 + 2 |/√(k² + 1)

√(k² + 1) é positiva e diferente de zero, pode ser simplificada.

| -3k + 1 | = | 4k - 3 |

(a) -3k + 1 = 4k - 3 -----> k = 4/7 ........ caso de r paralela à AB, citado acima pelo Élcio.

(b) -3k + 1 = -4k + 3 -----> k = 2 .......... r secciona o segmento AB mas A de um lado e B do outro ficam a mesma distância.