ESPM 2018.2

Num sistema de coordenadas cartesianas, considere que o caminho que liga dois pontos só poderá ser feito através de segmentos paralelos aos eixos coordenados. Dessa forma, teremos uma maneira diferente de calcular a distância entre dois pontos A e B. Vamos representá-la por d(AB) e calculá-la da seguinte maneira: d(AB) = |xA – xB| + |yA – yB|, como no exemplo abaixo:




d(AB) = |xA – xB| + |yA – yB|
d(AB) = 4 + 2 = 6

De acordo com o texto acima, assinale a alternativa que representa o conjunto dos infinitos pontos P do plano que estão à distância d(OP) = 5 do ponto O:




GABARITO: letra B.

No 1º quadrante, incluindo eixos x, y e ponto O na origem: (0,5), (1, 4), (2, 3), (3, 2) (4, 1), (5, 0)

Idem no 2º quadrante: (0,-5), (-1, 4), (-2, 3), (-3, 2) (-4, 1), (-5, 0)

Idem 3º quadrante: (-5, 0), (-4, -1), (-3, -2), (-2, -3) (-1, -4), (0, -5)

Idem 4º quadrante: (0, -5),(1, -4), (2, -3), (3, -2) (4, -1), (5, 0)

Desenhe os pontos

Vou resolver a questão fingindo que não sabemos nada sobre analítica, sem pensar sobre qual é a "cara" da equação de uma circunferência, ou de uma elipse, etc. Tratando como uma simples questão de funções, faça a análise do gráfico:

De acordo com a definição do problema, d(O, P) = |Xp – Xo| + |Yp – Yo| = 5
Para simplificar a análise, vamos considerar o centro O da figura como a origem, assim O(0, 0) e P(x, y), obtendo a equação:
|x| + |y| = 5

Agora basta fazer a construção do gráfico. Veja que para satisfazer a soma da equação os valores de x e y serão no máximo 5 e no mínimo -5, então podemos começar marcando esses "pontos limites" em que uma das coordenadas será zero:


Nesse momento fica claro que a resposta não poderá ser o quadradro da letra a nem o retângulo da letra d, pois esses casos limites deveriam ser justamente os vértices do quadrado ou do retângulo, veja que se esse fosse o caso a figura estaria inclinada, o que difere das figuras nas alternativas. Também não poderá ser a elipse da letra e, pois os pontos que encontramos seriam os vértices da elipse, e não deveriam estar equidistantes do centro, visto que haveria um eixo maior e outro menor.

Agora, para diferenciar entre a letra b e c, podemos marcar os pontos em que x = ±y, ou seja, x e y serão ±2,5 para a soma ser 5:


Fica claro agora que não pode ser uma circunferência, pois existem três pontos colineares, o que nunca aconteceria em tal.
Logo a figura será a mesma da letra b. Desenhei também duas circunferências para você ver que seria impossível passarem pelos 8 pontos encontrados:


Caso queira pensar de uma maneira mais rápida, só de olhar para a equação |x| + |y| = 5 podemos eliminar as alternativas que contêm uma curva, pois essa expressão é do primeiro grau, o que caracteriza relações lineares apenas, ou seja, retas e segmentos. Posteriormente basta marcar os "pontos limites" como feito acima na primeira figura para eliminar o quadrado e o retângulo.