Análise Combinatória

(OBMEP) Um grupo de 5 amigos decide brincar de "amigo oculto". Para isso, cada um dos 5 amigos compra um presente para seu amigo oculto.
Pelas regras do jogo cada um troca exatamente um presente com um único amigo. De quantas maneiras os presentes podem ser trocados?
GABARITO: 44 maneiras
*A Obmep deu a resolução, mas teve uma certa parte que eu não compreendi. Alguém pode me ajudar?OBS: Marcarei com um "@" a parte que não entendi ok...
A resolução foi a seguinte...
1° Observar as formas de distribuir os presentes sem nenhuma restrição... 5! = 120.
2° Subtrair os casos em que a pessoa tira o próprio presente, são eles:
• Os 5 amigos ficam com o próprio presente: 1 possibilidade.
• Exatamente 4 amigos ficam com o próprio presente: 0 possibilidade.
• Exatamente 3 amigos ficam com o próprio presente: (5×4×3)/(3×2) = 10 possibilidades.
• Exatamente 2 amigos ficam com o próprio presente: (5×4)/2 = 10. @Os outros 3 amigos trocam os presentes entre si, obtendo 10 × 2 = 20 possibilidades.@( Essa é uma das partes que eu não entendi, alguém pode me explicar por favor?)
• Exatamente 1 pessoa fica com o próprio presente. Para isso, escolhe-se uma pessoa (5 possibilidade) e @multiplica-se com o número de formas dos outros amigos de não ficarem com seus presentes (9 possibilidades), logo será 5 × 9 = 45 possibilidade.@( Como é descoberto que são 9 possibilidades dos amigos não ganharem o próprio presente?)
Daí teremos... 120 - 45 - 20 - 10 - 1 = 44.*

Olá, Matheus

Basicamente, devemos distribuir 5 presentes de maneira que qlq pessoa não receba o próprio presente.

Isso pode ser feito de D_5 = 5!\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right) = 44 modos (permutação caótica de cinco elementos).

Abs.

Exatamente 2 amigos recebem seus próprios presentes

Sejam A, B, C, D, E os cinco amigos e pA, pB, pC, pD, pE os presentes de cada um.

Escolhendo dois amigos: C(5, 2) = 10

Vamos supor um dos 10 casos: A e B recebem seus próprios presentes:

.A -- B --- C --- D --- E
pA - pB 

São 2 as possibilidades para C, D:

.C --- D --- E
pD -- pE -- pC
pE -- pC -- pD

10 x 2 = 20


O mesmo vale para 1 pessoa recebendo seu próprio presente: C(5, 10) = 5
Seja ele o amigo A, Para B, C, D, E existem as 9 possibilidades

.B --- C --- D --- E

pC -- pB - pE -- pD
pC -- pD - pE -- pB
pC -- pE - pB -- pD

pD -- pB - pE -- pC
pD -- pC - pE -- pB
pD -- pE - pB -- pC
PD -- PE - PC -- pB

pE -- pB - pC -- pD
pE -- pD - pB -- pC