Funções

Sejam os conjuntos A, B e C tais que A "está contido em" B "está contido em" C. Estabeleça as relações de inclusão entre os conjuntos A × A, A × B, A × C, B × A, B × B, B × C, C × A, C × B e C × C.
*Minha dúvida é de o por quê de termos A × B contido em A × C e o por quê de B × C está contido em C × B?
Eu usei um exemplo com C = {1,2,3,4}, B = {1,2,3} e A = {1,2}, mas não funcionou. O que eu achei na verdade é de que os conjuntos não ficam "dentro do outro", ou seja não vão ser subconjuntos um dos outros, achei uma união de conjuntos como a imagem. Alguém pode me explicar?



GABARITO:
A × A está contido em todos os nove.
A × B está contido em A × B, A ×C, B × B, B × C, C × C e C × B.
A × C está contido em B × C e C × C.
B × A está contido em B × A, B × B, B × C, C × A, C × B e C × C.
C × A está contido em C × A, C × B e C × C.
B × B está contido em B × B, B × C, C × B e C × C.
B × C está contido em B × C, C × C e C × B.
C × B está contido em C × B e C × C.
C × C está contido em C × C.

Dados dois conjuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto direto) dos dois conjuntos (escrito como X × Y) é o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro termo pertence a X e o segundo, a Y.

Utilizando seu exemplo teremos:

B x C = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}

C x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

BC não está contido em C x B

A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

A x C= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}

A x B está contido em A x C