(ITA) - Funções

Considere as funções f, g e h de R em R, tais que [latex]f(x+\frac{1}{x}) = f(x) + \frac{1}{f(x)}[/latex], para todo x não nulo e [g(x)]² + [h(x)]² = 1 para todo x real. Sabendo que k é um número real, tal que g(k).h(k)≠0 e [latex]f(\frac{1}{g(k)}\times\frac{1}{h(k)}) = 2[/latex], qual o valor de [latex]f\frac{g(k)}{h(k)}[/latex]?
Gab: 1

Olá botelhowski;

Acho que o mais difícil é você perceber que se voce tomar [latex]x = \frac{g(k)}{h(k)}[/latex], você consegue correlacionar todos os dados fornecidos pela questão

[latex]f(x+\frac{1}{x}) = f(x) + \frac{1}{f(x)} \implies


f{[\frac{g(k)}{h(k)} + \frac{1}{(\frac{g(k)}{h(k)})}]} = f(\frac{{[g(k)]^2} + {[h(k)]^2}}{g(k)h(k)}) \implies


f(\frac{1}{h(k)g(k)}) = f(\frac{g(k)}{h(k)}) + \frac{1}{f(\frac{g(k)}{h(k)})} = 2 \implies
[/latex]

[latex]f(\frac{g(k)}{h(k)}) + \frac{1}{f(\frac{g(k)}{h(k)})} = 2 \implies {[f(\frac{g(k)}{h(k)})]}^2 - 2 \cdot f(\frac{g(k)}{h(k)}) + 1 = 0 \implies[/latex]


[latex]{[{f(\frac{g(k)}{h(k)}) -1 }]^2} = 0 \implies f(\frac{g(k)}{h(k)}) = 1[/latex]

Bons estudos

joaoZacharias escreveu:Olá botelhowski;

Acho que o mais difícil é você perceber que se voce tomar [latex]x = \frac{g(k)}{h(k)}[/latex], você consegue correlacionar todos os dados fornecidos pela questão

[latex]f(x+\frac{1}{x}) = f(x) + \frac{1}{f(x)} \implies


f{[\frac{g(k)}{h(k)} + \frac{1}{(\frac{g(k)}{h(k)})}]} = f(\frac{{[g(k)]^2} + {[h(k)]^2}}{g(k)h(k)}) \implies


f(\frac{1}{h(k)g(k)}) = f(\frac{g(k)}{h(k)}) + \frac{1}{f(\frac{g(k)}{h(k)})} = 2 \implies  
[/latex]

[latex]f(\frac{g(k)}{h(k)}) + \frac{1}{f(\frac{g(k)}{h(k)})} = 2 \implies {[f(\frac{g(k)}{h(k)})]}^2 - 2 \cdot  f(\frac{g(k)}{h(k)}) + 1 = 0 \implies[/latex]


[latex]{[{f(\frac{g(k)}{h(k)}) -1 }]^2} = 0 \implies f(\frac{g(k)}{h(k)}) = 1[/latex]

Bons estudos

caraca, joão. tentei desenvolver de algumas formas mas não tinha percebido. muito obrigado!