Equação envolvendo arccos e arctg

por marcosprb Sáb 23 Fev 2019, 13:41

Eu consegui resolver essa questão, mas irei colocar a minha resolução aqui porque fiquei em dúvida em relação ao gabarito.
Resolva a equação:
$arccos\frac{2\sqrt{13}}{13}=arctg\left ( x+\frac{1}{2} \right )\\\\ \ tg\left [ arccos\left ( \frac{2\sqrt{13}}{13} \right ) \right ]=tg\left [ arctg\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right ]\\\\\\\frac{\sqrt{117}}{2\sqrt{13}}=x+\frac{1}{2}\rightarrow x^{2}+x-2=0\\\\\therefore x'=-2 \vee x''=1$

Observações: No gabarito, a única solução é x=1. O meu raciocínio foi o seguinte, para existir arccosx => $0\leqslant x\leq \pi$

Para existir arctgx=> $\frac{-\pi}{2}< x<\frac{\pi}{2}$
A interseção entre esses dois conjuntos é $0\leqslant x< \frac{\pi}{2}$
Portanto, a resposta está no primeiro quadrante, e dessa forma, para quando x=-1, o arctg iria assumir um resultado negativo, o que não pode ser verdadeiro.

Gostaria de saber se o meu raciocínio está correto.

por **Giovana Martins** Sáb 23 Fev 2019, 14:14

Sim, está certo. Uma "outra perspectiva" que você certamente sabe, mas vou deixar aí para quem não sabe.

Significado: arccos(x)=arco cujo cosseno é x.

arccos(x)=-2=arco cujo cosseno é -2. Nenhum, porque cos(x) ∈ [-1,1], por isso x=-2 não é solução. Ou então, x=-2 não é solução, porque esse valor não satisfaz o intervalo para o qual arctg(x) está definido.