Cinemática

por lucrdjds Qui 07 Fev 2019, 12:01

Gostaria de ajuda nessa questão por favor

Um homem encontra-se na margem de um lago no ponto A. Ele deve chegar no período mais curto ao ponto B, que se encontra no lago. A distância do ponto B à margem é BC = 40 m e a distância AC = 30 m. A velocidade do homem na água é 1 m/s e na margem é 2 m/s. Como deve mover-se o homem?

Gabarito: AD= 30- 40/raiz(3) e DC = 40/raiz(3)

por **Elcioschin** Qui 07 Fev 2019, 12:26

AD = x ---> CD = 30 - x ---> BD = √[(30 - x)² + 40²]

AD = 2.t'

DB = 1.t"

t = t' + t"

Calcule t em função de x, derive , iguale a zero e calcule x

por lucrdjds Qui 07 Fev 2019, 12:47

Obrigado pela ajuda, porém tenho algumas dúvidas. Como sei que devo colocar um novo ponto, no caso, o ponto D e onde colocá-lo? Além disso, existe outra maneira de fazer sem ser por meio de derivada? Ainda não aprendi

por **Elcioschin** Qui 07 Fev 2019, 19:50

Existem infinitos caminhos para ir de A até B

1) Ele pode ir direto, nadando de A a té B (v = 1 m/s)
2) Ele pode andar de A até C (v = 2 m/s) e depois nadar de C até A (v = 1m/s)
3) Ele pode ir, andando, de A até um ponto qualquer D, e ir nadando de D até B

Existem infinitos pontos D, entre A e C.
O que se quer é ponto D no qual o tempo de ida ADB seja o mínimo possível.
Assim, a priori não sabemos onde deverá ficar o ponto D. É exatamente isto que o enunciado pede.

por SnoopLy Qui 07 Fev 2019, 23:58

Eu também tinha dúvidas nessa questão e realmente é igual ao mestre Elcio falou. Acho que não existe outro modo sem ser derivada

Da solução que já me foi apresentada:

y=\frac{x}{2}+\sqrt{(30-x)^2+40^2}

y=\frac{x}{2}+\sqrt{x^2-60x+2500}

y'=\frac{1}{2}+\frac{x+30}{\sqrt{x^2+60x+2500}}

\frac{1}{2}+\frac{x+30}{\sqrt{x^2+60x+2500}}=0

x=AD=30-\frac{40}{\sqrt{3}}

DC=\frac{40}{\sqrt{3}}

por lucrdjds Sex 08 Fev 2019, 08:16

Agradeço a vocês pela ajuda, me ajudou a entender o problema e chegar mais perto da resolução. Porém, acho que ainda me falta conhecimento na parte de derivada, se possível por favor, queria entender a partir de y', como surgiu e o que exatamente aconteceu.
Obrigado mais uma vez.

por **Elcioschin** Sex 08 Fev 2019, 08:33

A derivada de uma função y = f(x) é outra função y' = f '(x), derivada de y = f(x).
Numericamente, a derivada de uma função, num ponto P(xP, yP) dela, nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à função, no ponto considerado.
Se a função passar por um ponto de máximo, ou de mínimo (por exemplo, uma função do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola), neste ponto, a reta tangente é paralela ao eixo x, logo, o coeficiente angular tgθ é nulo: tgθ = 0
Assim, basta fazer y' = f '(x) = 0 e calcular o valor da abcissa xP do ponto. Obtido xP, basta calcular yP

por **Vitor Ahcor** Sex 08 Fev 2019, 09:10

Olá!

Uma outra solução possível, utilizando a "lei de snell descartes".

O tempo será mínimo quando o ângulo entre a trajetória (BD) percorrida na água com a vertical obedecer a seguinte relação: senθ = v1/v2

senθ = 1/2 .: θ = 30°

tg30° = √3/3 = DC / 40 ---> DC = 40/√3; AD = 30 - 40/√3

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