Quadrilátero

Calcule a razão entre as diagonais AC e BD?

AC/BD = 2.V3/3

Mas só vou poder fazer à noite, qdo chegar em casa.

Certo, aguardarei! 
Mas... você fez de cabeça?

sim. Além do quê, eu tinha somente o celular à mão.



quadrilátero convexo ABCD ------>  \sum \alpha_{i}= 360^{\circ} \;\;\rightarrow \;\; \widehat{C}=120^{\circ}

pelos valores desses ângulos fica evidente que a figura é simétrica em relação à diagonal AC [se não está evidente, diga que depois eu mostro]. Assim temos:
AB = AD = a
CB = CD = b

Pitágoras -----> AC² = a² + b²  ...........(1)

lei dos cossenos nos triângulos ABD e CBD:
BD² = a² + a² - 2.a.a.cos60° = b² + b² -2.b.b.cos120°
BD² = a² + a² - a² = b² + b² + b²
BD² = a² = 3.b² ..........(2)
e tambem se tira..... a² = 3.b² .........(3)

(3) em (1): AC² = 3.b² + b² ------> AC² = 4.b² ...........(4)

de (2) e (4), concluímos

\left (  \frac{\;\overline{AC}\;}{\overline{BD}} \right )^2 = \frac{\; 4b^2 \:}{3b^2} \;\; \rightarrow \;\; \left (  \frac{\;\overline{AC}\;}{\overline{BD}} \right )^2 = \frac{\; 4 \;}{3} \;\; \rightarrow \;\; \boxed{\;\; \frac{\; \overline{AC} \;}{\overline{BD}} = \frac{\; 2\sqrt{3} \;}{3} \;\;}

Como eu poderia ver que a figura é simétrica?

Semelhança de triângulos.
Os três ângulos internos dos triângulos são iguais, e eles tem um lado igual, portanto os outros dois lados tem que ser iguais também.

eestudo2 escreveu:Como eu poderia ver que a figura é simétrica?

A diagonal AC é hipotenusa comum a dois triângulos retângulos, logo o quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência onde AC é um diâmetro.
O ângulo ^C=120° é inscrito nessa circunferencia.
Qual é o polígono regular (inscritível) que tem um ângulo inscrito de 120°? O hexágono.
Lembrando que o hexágono regular é um arranjo de 6 triângulos equiláteros, acompanhe o desenho abaixo onde mostro (em vermelho) de onde foi extraído esse quadrilátero.



Percebemos que:
-- CB = CD = R, raio do círculo circunscrito.
-- AB = AD = BD = diagonais dos losangos formados com dois dos triângulos equiláteros. Também são os lados do triângulo equilátero inscrito nesse mesmo círculo.

A figura original da questão está um pouco deformada -- talvez para não deixar tão evidente a origem -- mas entendo que era isto o que queriam ao elaborar a questão. Também, se não for isto e nomearmos com letras diferentes cada lado do quadrilátero, não vejo qualquer saída pelo teorema de Hiparco.

Consegui entender perfeitamente!!!
De coração, muito obrigada pela ajuda Medeiros e Mbssilva!!


Alguém sabe me dizer onde acho questões parecidas com essa para que eu não erre mais isso?