Quadrilátero

Considere as 4 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou (F) nos parênteses, conforme sejam verdadeiras ou falsas, e assinale a alternativa correta.
(1) - ( ) Em qualquer trapézio circunscrito a uma circunferência, a medida da base média é a quarta parte do seu perímetro.
(2) - ( ) As diagonais de um trapézio podem se intersectar no seu ponto médio.
(3) - ( ) Todo quadrilátero que tem as diagonais perpendiculares é um losango.
(4) - ( ) Existe quadrilátero plano cujos segmentos das diagonais não se intersectam.

(A) Apenas 2 é verdadeira.
(B) Apenas 3 é verdadeira.
(C) Apenas 3 e 4 são verdadeiras.
(D) 2, 3 e 4 são verdadeiras.
(E) 1 e 4 são verdadeiras.

(1) - VERDADE.
base média = (B+b)/2
Propriedade (teor. de Heron): em qualquer quadrilátero circunscrito, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
Sejam m e n os lados não paralelos do trapézio.
pela propriedade ----> B+b = m+n

perímetro/4 = (B+b+m+n)/4 = (B+b+B+b)/4 = 2(B+b)/4 = (B+b)/2 = base média. (c.q.d.)

(2) - FALSO.
A base menor "puxa" o ponto de intersecção para próximo de si. Assim, os triângulos formados pelas bases e diagonais são semelhantes mas não congruentes. Isso só aconteceria se o trapézio fosse um retângulo.

(3) FALSO.
O quadrado não é um losângo.

(4) FALSO.
Para isso acontecer, o polígono deve ter pelo menos 5 (cinco) lados. Senão, não há como uma diagonal "fugir" do encontro com a outra, não tem um outro vértice por onde escapar.

Apenas a (1) é verdadeira. Por favor, verifique a digitação das alternativas.

Olá Medeiros,

Gostaria que comentasse o item (4), tomando por base os conceitos:
Polígono - figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada.
Uma diagonal de um polígono - é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.

Não deveríamos considerar o quadrilátero convexo???

Olá Natal,

Perfeito. Estou considerando essas definições (conceitos) a que você se refere. E estou também considerando que a questão trata de um quadrilátero plano convexo, pois se fosse côncavo teria obrigatoriamente a forma parecida a de um chevron (essas insígnias de sargento) e não haveriam duas diagonais internas (apenas uma).

É justamente por ser um quadrilátero (somente quatro lados, quatro vértices) que as duas diagonais ligarão sempre vértices opostos. Logo, elas deverão cruzar um algum ponto. Portanto, NÃO "existe quadrilátero em que essas diagonais NÃO se interceptem". Elas sempre se interceptam.

Então, afirmação do item 4 é FALSA.

Você tem o gabarito dessa questão?

Olá Medeiros,

Camarada tive trabalho, mas encontrei o gabarito e consta a letra "E".

OLá Natal.

A alternativa E diz que itens 1 e 4 são verdades.
O item 4 só é verdade se o quadrilátero for côncavo (um chevron).
É impossível ocorrer o item 4 em quadriláteros convexos.

Então a minha falha foi ter imaginado (sem autorização para tanto) que a questão se referia a quadriláteros convexos. Já no primeiro post eu devia ter desconfiado quando a resposta não coincidiu com nenhuma alternativa -- lembra que perguntei sobre a digitação?

Valeu!

Amigo Medeiros,

O que tenho a destacar na questão foi o seu interesse . Muito obrigado, independentemente do resultado o que vejo de certo é sua dedicação. Valeu.