número complexo

por killua05 Dom 03 Jul 2011, 12:15

Se z é um número complexo e z' o seu conjugado, então, o número de soluções da equação z'=z² é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Spoiler:

eu coloquei z' porque não achei uma outra forma de representar o conjugado.

minha resolução:
z² - z' = 0
(z + √z')*(z - √z') = 0
(z + √z')=0 ou (z - √z') = 0 só tem duas soluções, está certo?

por **Elcioschin** Dom 03 Jul 2011, 20:16

z = a + bi

z' = a - bi

z' = z² ---> a - bi = (a + bi)² ---> a - bi = (a² - b²) + 2abi

Igualando parte real e imaginária:

I) 2ab = - b ----> 2ab + b = 0 ----> (2a + 1)*b = 0 ----> b = 0 ou a = - 1/2

R) a² - b² = a

Para b = 0 ---> a² - 0 = a ---> a² - a = 0 ---> a*(a - 1) = 0 ---> a = 0 ou a = 1

Para a = -1/2 ----> (-1/2)² - b² = - 1/2 ----> 1/4 - b² = - 1/2 ---> b² = - 3/4 ---->

b = + i*\/3 ou b = - i*V3

Logo, são 4 soluções:

1) a = 0, b = 0 ----> z = 0
2) a = 1, b = 0 ----> z = 1
3) a = -1/2, b = + i*\/3/2 ----> z = - 1/2 + i*V3/2 ----> z = cos120º + i*sen120º
4) a = -1/2, b = - i*\/3/2 -----> z = - 1/2 - i*V3/2 ----> z = cos240º + i*sen240º

por killua05 Dom 03 Jul 2011, 20:32

obrigado Elcioschin,

tinha começado resolver como você e parei aqui: a - bi = (a² - b²) + 2abi

por **Elcioschin** Dom 03 Jul 2011, 20:45

killua05

Vou cantar para você aquele clássico bordão: PAROU PORQUE? PORQUE PAROU? (ahahaha)

por RenanSousa Sex 19 maio 2017, 20:01

Elcioschin escreveu:killua05

Vou cantar para você aquele clássico bordão: PAROU PORQUE? PORQUE PAROU? (ahahaha)

Elcio tenho uma dúvida para achar o número então de soluções de uma equação basta pegar o conjugado como foi afirmado aí na questão , igualando a parte imaginária a real? A sacada era essa?

por **Elcioschin** Sex 19 maio 2017, 20:05

Sim, era esta.

por dekinho0 Seg 14 maio 2018, 17:14

Então eu devo igualar sempre a parte imaginária em função da parte real? Ou seja, a parte real é que vai determinar quantas soluções existem?

Alguém poderia explanar-me ? Thanks.

por **Elcioschin** Seg 14 maio 2018, 18:12

Não. A parte real não tem nada a ver com a parte imaginária: elas são independentes entre si.

Montada e desenvolvida uma equação deve-se:

1) Igualar parte real com parte real dos dois membros
2) Igualar parte imaginária com parte imaginária dos dois membros.

Isto representa duas equações e duas incógnitas (a, b, nesta questão). Resolvendo as duas equações chega-se nos possíveis valores de a, b, isto é de z.