Triângulo

No gráfico abaixo I é o incentro do triângulo ABC, BI=4, IL=2 e DL=3. Calcular BM/MN.

a)5/4
b)4/3
c)1
d)6/5
e)3/2
r=d

Ola , 
Pelo teorema de Ceva , temos para o triângulo BNC a seguinte relação :

(BN/MN).(ND/DC).(CK/KB)=1

(Sendo K o ponto entre B e C)
Perceba que os triângulos BIK e BDC são semelhantes , isso se deve porque BC tem a mesma reta suporte , tendo a mesma rotação no sentido anti-horario de um ângulo (theta).

Dessa maneira , pela semelhança temos :

(BI/BD)=(BK/BC)

Pelo enunciado , BI=4 e BD=9
Logo teremos que (BK/BC)=4/9

Mas BC=BK+KC , substituindo :

5(BK)=4(KC).

Pelo mesmo motivo da semelhança dos triângulos acima , os triângulos ALK e NLC são semelhantes , logo

(AK/NC)=(AL/LC) (I)

Como I é o incentro do trinagulo ABC , esse segmento corta o ângulo em dois ângulos iguais no vértice B.
Logo vamos pegar primeiro apenas o triângulo ABK , pelo teorema da bissetriz interna , temos :

(AI/AB)=(IK/KB) (II)

Agora vamos analisar o triângulo ABC , novamente pelo teorema da bissetriz interna :

(AL/AB)=(LC/BC) (III)

Temos la de cima a relação entre BK e BC , que é dada por (BK/BC)=4/9 (IV)

Substituindo BK da equação (IV) na equação (II) , teremos :

(AI/AB)=9/4.(IK/BC)

Isolando a razão (AB/BC) , temos:

4/9.(AI/IK)=(AB/BC).

Isolando a mesma razão acima na equação (III) e igualando , temos :

(AL/LC)=4/9.(AI/IK) (V)

Igualando (V) com (I):

4/9.(AI/IK)=(AK/NC).

Repare que a razão de semelhança dos triângulos ALK e NLC é igual a (2/3) , devido a razão das cevianas IL e LD.
Logo:

4/9.(AI/IK)=2/3
(AI/IK)=3/2.

Podemos perceber a semelhança entre os triângulos ALI com DLC , e NDL com LKI , dessa maneira fazendo a semelhança para os dois primeiros :

(AI/DC)=(LI/LD)

Para os dois últimos :
(IK/ND)=(IL/LD)

Então temos que :

(AI/DC)=(IK/ND)

Isolando a razão (AI/KI) :

(AI/KI)=(DC/ND) , logo (DC/ND)=3/2.

Pelo teorema de Ceva :

(BM/MN).(ND/DC).(CK/KB)=1

Substituindo os valores que foram encontramos na resolução :

(BM/MN).(2/3).(5/4)=1
(BM/MN)=6/5.