(OBMEP 2014) PFC

(OBMEP 2014) Quantos são os números ímpares, de cinco algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas é 16 e a soma de todos os algarismos é um múltiplo de 5? 


Então, eu tenho a resolução, porém não entendi uma parte e peço que alguém me ajude.

Solução:
Como os números devem ser ímpares e como a soma dos algarismos das unidades e das dezenas deve ser igual a 16, os números devem terminar em 79 ou 97 (duas possibilidades). Na casa das dezenas de milhar temos 9 possibilidades, pois os números, tendo cinco algarismos, não podem ter 0 nesta casa. Para a casa das unidades de milhar temos 10 possibilidades (todos os algarismos de 0 a 9) e, para cada uma das escolhas anteriores, podemos escolher o algarismo das centenas de duas maneiras distintas, a fim de que a soma de todos os algarismos do número seja um múltiplo de 5. Logo, há 2·9·10·2 = 360 possibilidades. Resposta D.



Ta, nos vamos ter 9 possibilidades pra casa das dezenas milhar (excluindo o 0), e 10 para a cada das unidades de milhar. Mas eu não entendi porque podemos escolher o algarismo das centenas de duas maneiras distintas para que a soma seja múltiplo de 5, alguém poderia me explicar?

Os números são do tipo:

VMC79 ou VMC97

V não pode ser 0 pois números não começam por 0 ---> 9 possibilidades
M e C ---> 10 possibilidades

V + C + M + 16 = 5.k (múltiplo de 5) ---> V + C + M + 16 terminam em 0 ou 5

Logo, V + C + M terminam em 4 ou 9

Exemplos com algarismos 1,0,3 e 1,0,8: 10379 e 13079 ---> Soma = 20 e 10879 e 18079 ---> Soma = 25

Outros com com algarismos 1,1,2 e 1,1,7 ---> 11279, 12179 ---> soma 20 ---> 11779 e 17179 ---> soma 25