(OBMEP 2014)

O paralelogramo ABCD tem área 24cm² e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero EFGH?






Bom, eu olhei a resolução da questão no PDF e no vídeo disponibilizado no próprio site da OBMEP. Porém ainda tenho uma dúvida: O professor que resolve a questão diz que o triângulo GFC é semelhante ao triângulo GDA e ele usa isso para relacionar as alturas desses dois triângulos e conseguir calcular a área do triângulo GFC, até ai tudo bem, eu consegui compreender por que ele afirmou que os triângulos são semelhantes e entendi também todo o procedimento.

Depois ele diz que a maneira de calcular a área do triângulo AEH é análoga e é nessa parte que eu não entendo. Quais são os critérios de semelhança que faz o triângulo AEH ser semelhante a um outro triângulo presente na figura? Eu simplesmente não consigo enxergar isso.

GFC e GDA são semelhantes porque

1) A^GD e C^FG são opostos pelo vértice ---> A^GD = C^FG
2) GÂD = G^FC ---> alternos e internos
3) G^DA = G^FC ---> alternos internos

AD = 2.FC ---> AG = 2.GC ---> GD = 2.GF

Conclusão S(ADG) = 4.S(GFC)

O mesmo critério usado acima pode ser usado para provar que AEH e CDH são semelhantes ---> S(CDH) = 4.A(AEH)

Outro modo.

Muito obrigado Elciochin e Raimundo, ficou mais claro agora.


Raimundo, não conhecia o teorema do item 1, vou pesquisar mais sobre o assunto, pois ainda sinto um pouco de dificuldade de entendê-lo neste exercício.

Eis sua pesquisa:

Trace duas retas paralelas horizontais distantes h entre si
Na inferior desenhe a base AB, de um triângulo e um ponto C na superior, de forma a obter um triângulo acutângulo
Idem, desenhe outra base AB igual na inferior e um ponto D na superior, para obter um triângulo obtusângulo.

Nos dois triângulos ABC e ABD a base é a mesma (AB) e altura, em relação a esta base é h

S = AB.h/2 ---> As áreas de ambos são iguais

E isto vale para TODOS os triângulos de mesma base e mesma altura, em relação a esta base