Combinatória - (casais de namorados)

Suponha que três casais de namorados são dispostos aleatoriamente em uma fila. Qual é
a probabilidade de que nenhum dos casais fique junto?

Paulo Testoni escreveu:Suponha que três casais de namorados são dispostos aleatoriamente em uma fila. Qual é
a probabilidade de que nenhum dos casais fique junto?

Boa noite Paulo Testoni!
Não tenho muita certeza... Fiz assim:
Total de possibilidades de 6 pessoas ficarem em uma fila = 6! = 720
Vamos começar a colocar as pessoas na fila.
A 1ª da fila pode ser 6 pessoas
A 2ª da fila pode ser 4 pessoas (excluímos a 1ª da fila e o par da 2ª da fila)

Para ocupar a 3ª posição temos que pensar na seguinte condição:
* Ela ser o(a) namorado(a) da pessoa que está na 1ª posição (hipótese 1).
* Ela não ser o(a) namorado(a) da pessoa que está na 1ª posição (hipótese 2).

Na hipótese 1
A 3ª da fila pode ser somente 1 pessoa.
A 4ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 3 que já estão na fila e o par da que está na 2ª posição, pois, caso fosse, obrigaria ao últimos dois da fila a serem 1 casal).
A 5ª da fila pode ser 1 pessoa (excluímos as 4 que já estão na fila e o par da que está na 4ª posição).
A 6ª da fila pode ser 1 pessoa.
Hipótese 1 ===> 6*4*1*2*1 = 48

Na hipótese 2
A 3ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 2 que já estão na fila, o par da 2ª da fila e o par da 1ª da fila).
A 4ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 3 que já estão na fila e o par da 3ª da fila).
A 5ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 4 que já estão na fila - obrigatoriamente o seu par está na 1ª ou na 2ª posição).
A 6ª da fila pode ser 1 pessoa.
Hipótese 2 ===> 6*4*2*2*2*1 = 192
Total de possibilidades para os casais ficarem separados ===> 48+192 = 240
A probabilidade procurada é 240/720 = 1/3
Como disse, não tenho certeza da resposta.
Mesmo estando correta a resolução, gostaria de que alguém resolvesse de outra maneira.
Achei a minha muito braçal!
Obrigado.

Hola Joel Borges.

Seu raciocínio está praticamente correto. Agradeço a sua colaboração.

Espaço amostral = 6! = 720

No primeiro lugar pode sentar-se qualquer uma das 6 pessoas. Correto.

No segundo lugar pode sentar-se qualquer uma das 6 pessoas, exceto o par de quem está no primeiro lugar, nesse caso 4 pessoas. Correto.

Até ai sobram 4 pessoas ainda.

No terceiro lugar pode sentar-se qualquer uma das 4 pessoas.

No quarto lugar pode sentar-se qualquer uma das pessoas que sobraram, exceto o par de quem está no terceiro lugar, 2 pessoas no caso.

Até agora sobram 2 pessoas.

No quinto lugar pode sentar-se qualquer uma dessas 2 pessoas que sobraram.

no sexto lugar senta quem sobrou, 1 pessoa somente.

multiplica tudo: 6.4.4.2.2.1 = 384

P = 384/720
P = 8/15

JOEL BORGES escreveu:

Paulo Testoni escreveu:Suponha que três casais de namorados são dispostos aleatoriamente em uma fila. Qual é
a probabilidade de que nenhum dos casais fique junto?

Boa noite Paulo Testoni!
Não tenho muita certeza... Fiz assim:
Total de possibilidades de 6 pessoas ficarem em uma fila = 6! = 720
Vamos começar a colocar as pessoas na fila.
A 1ª da fila pode ser 6 pessoas
A 2ª da fila pode ser 4 pessoas (excluímos a 1ª da fila e o par da 2ª da fila)

Para ocupar a 3ª posição temos que pensar na seguinte condição:
* Ela ser o(a) namorado(a) da pessoa que está na 1ª posição (hipótese 1).
* Ela não ser o(a) namorado(a) da pessoa que está na 1ª posição (hipótese 2).

Na hipótese 1
A 3ª da fila pode ser somente 1 pessoa.
A 4ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 3 que já estão na fila e o par da que está na 2ª posição, pois, caso fosse, obrigaria ao últimos dois da fila a serem 1 casal).
A 5ª da fila pode ser 1 pessoa (excluímos as 4 que já estão na fila e o par da que está na 4ª posição).
A 6ª da fila pode ser 1 pessoa.
Hipótese 1 ===> 6*4*1*2*1 = 48

Na hipótese 2
A 3ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 2 que já estão na fila, o par da 2ª da fila e o par da 1ª da fila).
A 4ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 3 que já estão na fila e o par da 3ª da fila).
A 5ª da fila pode ser 2 pessoas (excluímos as 4 que já estão na fila - obrigatoriamente o seu par está na 1ª ou na 2ª posição).
A 6ª da fila pode ser 1 pessoa.
Hipótese 2 ===> 6*4*2*2*2*1 = 192
Total de possibilidades para os casais ficarem separados ===> 48+192 = 240
A probabilidade procurada é 240/720 = 1/3
Como disse, não tenho certeza da resposta.
Mesmo estando correta a resolução, gostaria de que alguém resolvesse de outra maneira.
Achei a minha muito braçal!
Obrigado.

Eu pensei assim...
Chamei "A" e "a" ; "B" e "b" ; "C" e "c" os 3 casais:
Tentei colocá-los em fila, considerando as restrições:
1ª posição = podem ser as 6 pessoas (vamos supor que seja A)
2ª posição = podem ser 4 pessoas (excluí A e a - vamos supor que seja B)

3ª posição = podem ser 3 pessoas (excluí A, B e b). Nesse momento percebi que havia uma diferença se fosse "a" ou se fosse "C" ou "c" e deveria analisá-las separadamente.

3ª posição = a pode ser 1 pessoa (por hipótese = a)
4ª posição = podem ser 2 pessoas (note que no exemplo dado não pode, além de A, B e a, ser b, pois obrigaria a C e c ficarem juntos nas duas últimas posições). Por exemplo C.
5ª posição = pode ser 1 pessoa (no caso b).
6ª posição = pode ser 1 pessoa (no caso c).
Desta forma, optando por "a" na terceira posição, temos 6*4*1*2*1*1 = 48 possibilidades.

Supondo que na 3ª posição não seja "a", ou seja, não seja o par de quem esteja na 1ª posição.
1ª posição = 6 possibilidades (supor A).
2ª posição = 4 possibilidades (supor B).
3ª posição = podem ser 2 pessoas (excluí A, B, b e a). - Supor C.
4ª posição = podem ser 2 pessoas (excluí A, B, C e c). - Supor a.
5ª posição = podem ser 2 pessoas (excluí A, B, C e a). - Supor b.
6ª posição = pode ser 1 pessoa - No caso c.
Desta forma, optando por não ser "a" na terceira posição, temos 6*4*2*2*2*1 = 192 possibilidades.

Como podemos ter as duas situações, temos que fazer o somatório 48 + 192 = 240.
Logo a probabilidade procurada é 240/720 = 1/3.
Não sei se consegui explicar melhor a maneira que eu fiz o exercício.

Boa noite, Paulo.

Em sua resposta, li o seguinte:

"No terceiro lugar pode sentar-se qualquer uma das 4 pessoas."
Contudo, analisando a questão, notei que na 3ª posição só poderiam sentar-se 3 pessoas:
Digamos que fossem 6 bolas: 2 vermelhas, 2 azuis e 2 roxas: V1, V2, A1, ,A2, R1, R2.
1ª posição — poderá ser ocupada por qualquer uma das bolas; digamos, então, que seja ocupada por V1.
2ª posição — só não poderá ser ocupada por V2; será ocupada, então, por A1 ou A2 ou R1 ou R2. (4 possibilidades).
3ª posição — se a 1ª posição for ocupada por V1 e a 2ª por A1 ou A2 ou R1 ou R2, a 3ª poderá ser ocupada por:
Se a 2ª for ocupada por A1 — V2 ou R1 ou R2 — não poderá ser ocupada por A2.
Se a 2ª for ocupada por A2 — V2 ou R1 ou R2 — não poderá ser ocupada por A1.
Se a 2ª for ocupada por R1 — V2 ou A1 ou A2 — não poderá ser ocupada por R2.
Se a 2ª for ocupada por R2 — V2 ou A1 ou A2 — não poderá ser ocupada por R1.

Contudo, além desse detalhe, estou percebendo ser a questão bastante complexa.
Aguardo um comentário seu a respeito.





Um abraço.

Hola Ivomilton.

Vc tem toda razão. Por isso estou pensando.

Paulo Testoni escreveu:Hola Ivomilton.

Vc tem toda razão. Por isso estou pensando.

Boa noite,

Muito obrigado.
Que o Senhor Jesus ilumine a tua mente...





Forte abraço.

Hola Borges e Ivomilton.

Gostaria de pedir escusas pelo meu raciocínio equivocado. Estive pensando nesse fim de semana passado e conclui que realmente o Borges tem toda razão.

Pensei assim: sejam os casais: AB 12 67

Vamos começar por A para o primeira da fila.
Podemos colocar o 1 como a segunda pessoa da fila.
É importante notar que nesse caso o B não pode ocupar a segunda posição e o 2 não pode ocupar a terceira posição e nem o casal 67 podem ficar juntos. Vamos desenhar 6 celas a saber para melhor visualização:



Para esse caso temos 10 situações. Note que o 2, 6 e o 7 também podem ocupar o segundo lugar do 1.Temos então 4 situações, ou seja: 4*10 = 40

Usamos na primeira fila somente o A, mas os outras 5 pessoas: 1, 2, B, 6 e 7 também podem ocupar esse lugar. Portanto: 6*40 = 240

Logo: a probabilidade pedida é:

P = 240/720
P = 24/72
P = 1/3 o que confere com a resposta encontrada pelo Borges.

Mais uma vez peço desculpas ao Borges e ao Ivomiltom pela minha desatenção com essa passagem do problema.

Paulo Testoni escreveu:Hola Borges e Ivomilton.

Gostaria de pedir escusas pelo meu raciocínio equivocado. Estive pensando nesse fim de semana passado e conclui que realmente o Borges tem toda razão.

Pensei assim: sejam os casais: AB 12 67

Vamos começar por A para o primeira da fila.
Podemos colocar o 1 como a segunda pessoa da fila.
É importante notar que nesse caso o B não pode ocupar a segunda posição e o 2 não pode ocupar a terceira posição e nem o casal 67 podem ficar juntos. Vamos desenhar 6 celas a saber para melhor visualização:



Para esse caso temos 10 situações. Note que o 2, 6 e o 7 também podem ocupar o segundo lugar do 1.Temos então 4 situações, ou seja: 4*10 = 40

Usamos na primeira fila somente o A, mas os outras 5 pessoas: 1, 2, B, 6 e 7 também podem ocupar esse lugar. Portanto: 6*40 = 240

Logo: a probabilidade pedida é:

P = 240/720
P = 24/72
P = 1/3 o que confere com a resposta encontrada pelo Borges.

Mais uma vez peço desculpas ao Borges e ao Ivomiltom pela minha desatenção com essa passagem do problema.

Boa noite Paulo Testoni!
Agradeço ao senhor e também ao mestre Ivomilton pela atenção.
Fiquem com Deus!

Hola Borges e Ivomilton.

Que Ele esteja com todos nós. Amém.