Inscrição de sólidos
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Inscrição de sólidos
Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida A da superfície da esfera.
Gabarito: A√A/(3∏√3∏)
Gabarito: A√A/(3∏√3∏)
Victor Luz- Mestre Jedi
- Mensagens : 775
Data de inscrição : 14/03/2017
Idade : 26
Localização : São Paulo - Brasil
Re: Inscrição de sólidos
Okidoki...
Sendo R o raio da esfera circunscrita e l a aresta do cubo, temos, do enunciado:
A=4\pi R^2 \Leftrightarrow R^2=\frac{A}{4\pi} \therefore \boxed{R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{A}{\pi}}}\;(\mathrm{I})
Agora vamos ao cubo... Veja a imagem:
2R=l\sqrt3 \therefore \boxed{l=\frac{2R}{\sqrt3}}
V=l^3 \Leftrightarrow V=\left (\frac{2R}{\sqrt3} \right )^3 \therefore \boxed{V=\frac{8R^3}{3\sqrt3}}\;(\mathrm{II})
\\V=\frac{8R^3}{3\sqrt3} \Leftrightarrow V=\frac{8 \left ( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{A}{\pi}} \right )^3 }{3\sqrt3} \Leftrightarrow V=\frac{8\left ( \frac{A\sqrt A}{8\pi\sqrt\pi} \right )}{3\sqrt3} \Leftrightarrow \\\\\\ \Leftrightarrow V=\frac{1}{3\sqrt3}\,.\,\frac{A\sqrt A}{\pi\sqrt\pi} \therefore \boxed{V=\frac{A\sqrt A}{3\pi\sqrt{3\pi}}}
Espero que tenha ficado claro, sir.
Sendo R o raio da esfera circunscrita e l a aresta do cubo, temos, do enunciado:
Agora vamos ao cubo... Veja a imagem:
Note que o diâmetro é a diagonal do cubo... mas como essa diagonal equivale a l√3, temos:
Agora podemos calcular o volume V do cubo...
Por fim, substituindo (I) em (II), temos:
Espero que tenha ficado claro, sir.
Skyandee- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 136
Data de inscrição : 27/11/2017
Idade : 24
Localização : São Paulo - SP
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