Máximo relativo

(EN 2016)Seja f a função real de variável real x, definida por . Qual o máximo relativo de f?

GABARITO:

Achei a função derivada e igualei a zero. Usei uma das raízes da função derivada, porém deu (4-sqr(3))/2 e a outra resultou no gabarito. Então como determino qual raiz devo usar?

Para saber se é máximo ou mínimo você tem que calcular a derivada segunda.

Se f "(x) > 0 ---> mínimo
Se f "(x) < 0 ---> máximo

Boa noite!

Função:
f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 4

Ao derivar pela 1^a vez e igualar a zero encontramos os pontos críticos:
\\f'(x) = 6x^2 - 6x - 3\\\\6x^2 - 6x - 3 = 0\\\\2x^2 - 2x - 1 = 0\\\\\Delta = (-2)^2 - 4(2)(-1)\\\\\Delta = 4 + 8 = 12\\\\x = \dfrac{ -(-2) \pm \sqrt{ 12 } }{ 2(2) }\\\\x = \dfrac{ 2 \pm 2\sqrt{ 3 } }{ 4 }\\\\x' = \dfrac{ 1 + \sqrt{ 3 } }{ 2 }\\\\x'' = \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 }

Bom, podemos analisar o sinal da derivada primeira para saber se é um ponto de máximo ou mínimo, da seguinte forma.
\\x < \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \Rightarrow f'(x) > 0\\\\x = \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \Rightarrow f'(x) = 0\\\\\dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } < x < \dfrac{ 1 + \sqrt{ 3 } }{ 2 } \Rightarrow f'(x) < 0\\\\x = \dfrac{ 1 + \sqrt{ 3 } }{ 2 } \Rightarrow f'(x) = 0\\\\x > \dfrac{ 1 + \sqrt{ 3 } }{ 2 } \Rightarrow f'(x) > 0

Ou seja, o primeiro ponto é ponto de MÁXIMO (a derivada primeira passa de positiva para negativa) e o segundo é ponto de MÍNIMO (a derivada primeira passa de negativa para positiva).

Ou fazendo o teste da derivada 2^a:
f''(x) = 12x - 6

Onde a derivada 2^a for zero temos um ponto de inflexão (mudança de concavidade). E onde a derivada 2^a for positiva, concavidade para cima, negativa, concavidade para baixo.
Portanto:
\\f''(x) = 12x - 6 = 0\\\\12x - 6 = 0\\\\x = \dfrac{ 1 }{ 2}

E:
\\f''\left( \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right) < 0 \Rightarrow \text{ ponto de maximo }
\\f''\left( \dfrac{ 1 + \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right) > 0 \Rightarrow \text{ ponto de minimo }

Substituindo o ponto correto, então:
\\f(x) = ((2x - 3) \cdot x - 3) \cdot x + 4\\\\f\left( \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right) = \left(\left(2 \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } - 3\right) \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } - 3\right) \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } + 4\\\\f\left( \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right) = \left(\left( -2 - \sqrt{ 3 }\right) \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } - 3\right) \cdot \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } + 4\\\\f\left( \dfrac{ 1 - \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right) = \dfrac{ 4 + 3\sqrt{ 3 } }{ 2 }

Espero ter ajudado!