Matemática Financeira

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Matemática Financeira

Mensagem por rohzm54 em Sex Jan 12 2018, 18:33

Uma empresa propõe pagar uma dívida da seguinte forma: 12 parcelas bimestrais iguais e postecipadas no valor de R$ 10.000,00, e mais quatro parcelas quadrimestrais intermediárias de valor R$ 15.000,00 iniciando no quarto mês após a negociação. Sendo a taxa do negocio igual a 1,8% ao mês, calcule o valor da dívida sabendo que teve uma entrada de R$ 20.000,00.


Última edição por rohzm54 em Sab Jan 13 2018, 09:59, editado 1 vez(es)

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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sex Jan 12 2018, 22:01

Boa noite!

Questão postada originalmente (antes da edição):
rohzm54 escreveu:
Uma empresa efetuou um financiamento cuja proposta de pagamento da vendedora é ser pago em 15 parcelas bimestrais postecipadas iniciando o primeiro pagamento um mês após carência de 14 meses. As cinco primeiras parcelas serão de R$ 21.000,00, as cinco parcelas seguintes, de R$ 41.000,00 e as cinco últimas de R$ 71.000,00. A empresa por questão financeira deseja trocar esses pagamentos, por outro em que: continuam 15 parcelas postecipadas agora trimestrais iguais e consecutivas, iniciando um mês após 17 meses de carência. De posse dos valores, calcular o valor dessas 15 parcelas trimestrais sabendo que o primeiro acordo a taxa foi negociada a 15% ao ano capitalizada bimestralmente, e no segundo modo de pagamento a taxa é de 18% ao ano.

Esse exercício tá cheio de dados Smile Eita nóis!
Dados:
15 parcelas bimestrais
Carência de 14 meses e pagando no próximo mês, primeira prestação no mês 15 = 7,5 bimestres. De forma a ficar correto o valor da fórmula, a carência será calculada como 6,5 bimestres.
5 parcelas de 21.000 + 5 de 41.000 + 5 de 71.000
Taxa 15% a.a. com capitalização bimestral = 15% / 6 = 2,5% a.b.

Substituir por:
15 parcelas trimestrais IGUAIS
Carência de 17 meses e pagando no próximo mês, primeira prestação no mês 18 = 6 trimestres. Portanto, carência 5 trimestres.
Taxa 18% a.a. (precisa conversar para taxa trimestral)
\\1+i_a=(1+i_t)^4\\1+18\%=(1+i_t)^4\\1+i_t=\sqrt[4]{1,18}\\i_t\approx 4,224664\%\text{ a.t.}

Agora vamos aos cálculos!!!

1º) Calcular o valor à vista do primeiro fluxo de caixa:
\\\displaystyle{PV\cdot\left(1+2,5\%\right)^{6,5}=21\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]+\dfrac{41\,000}{\left(1+2,5\%\right)^5}\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]+\dfrac{71\,000}{\left(1+2,5\%\right)^{10}}\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]}\\\\\displaystyle{PV\cdot 1,025^{6,5}\approx 21\,000\cdot 4,645828+41\,000\cdot 4,106235+71\,000\cdot 3,629314}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 445\,958,00}}

2º) Calcular o valor das parcelas trimestrais:
\\\displaystyle{445\,958,00\cdot\left(1+4,224664\%\right)^5=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+4,224664\%\right)^{-15}}{4,224664\%}\right]}\\\\\displaystyle{445\,958,00\cdot 1,04224664^3=PMT\cdot\left[\dfrac{1-1,04224664^{-15}}{0,04224664}\right]}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 50\,107,33}}

Espero ter ajudado!


Última edição por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 11:12, editado 1 vez(es) (Razão : Incluí o texto original da questão devido a edição posterior)
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 00:07




Baltuilhe:

Seu raciocínio não verifiquei, portanto não sei se está certo ou errado.

Mas corrijo suas contas, a partir deste ponto:
 

1º) Calcular o valor à vista do primeiro fluxo de caixa:

PV \cdot (1 + 2,5\%)^{6,5} = 21000 \cdot \left[ \frac{1 - (1 + 2,5\%)^{-5}} {2,5\%} \right] + \frac{41000} {(1+2,5\%)^5} \cdot \left[ \frac {1 - (1+2,5\%)^{-5}} {2,5\%} \right] + \frac {71000} {(1 + 2,5\%)^{10}}

(não sei de onde apareceu este expente 6,5)

PV\cdot 1,025^{6,5} = 21000\cdot 4,645828 + 41000\cdot 4,106235 + 71000\cdot \bf{0,781198}

\boxed{PV \approx 273.727,16}


2º) Calcular o valor das parcelas trimestrais:

{273727,16\cdot (1+4,224664\%)^5 = PMT\cdot\left[\frac{1-(1+4,224664\%)^{-15}}{4,224664\%}\right]}

{273727,16\cdot (1,04224664)^5 = PMT\cdot\left[\frac{1 - (1,04224664)^{-15}}{0,04224664}\right]}

\boxed{ PMT \approx 30.755,67}


Última edição por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 01:23, editado 1 vez(es)

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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 00:38

Luiz, boa noite!

Revisei as minhas contas e estão corretas! Usei inclusive outra metodologia (montei o fluxo de caixa no Excel) e cheguei na mesma resposta que postei.

Abraços!
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 01:22

baltuilhe escreveu:Luiz, boa noite!

Revisei as minhas contas e estão corretas! Usei inclusive outra metodologia (montei o fluxo de caixa no Excel) e cheguei na mesma resposta que postei.

Abraços!


\frac{71000}{(1+2,5\%)^{10}} = 71000\times\bf{0,781198}

e não

71000 \times \bf{3,629314}.

Confira!

Boa noite.

Luiz 2017
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 01:27

rohzm54 escreveu:Uma empresa efetuou um financiamento cuja proposta de pagamento da vendedora é ser pago em 15 parcelas bimestrais postecipadas iniciando o primeiro pagamento um mês após carência de 14 meses. As cinco primeiras parcelas serão de R$ 21.000,00, as cinco parcelas seguintes, de R$ 41.000,00 e as cinco últimas de R$ 71.000,00. A empresa por questão financeira deseja trocar esses pagamentos, por outro em que: continuam 15 parcelas postecipadas agora trimestrais iguais e consecutivas, iniciando um mês após 17 meses de carência. De posse dos valores, calcular o valor dessas 15 parcelas trimestrais sabendo que o primeiro acordo a taxa foi negociada a 15% ao ano capitalizada bimestralmente, e no segundo modo de pagamento a taxa é de 18% ao ano.

Olá rohzm54.

Tens o gabarito?

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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 01:49

Luiz 2017 escreveu:
baltuilhe escreveu:Luiz, boa noite!

Revisei as minhas contas e estão corretas! Usei inclusive outra metodologia (montei o fluxo de caixa no Excel) e cheguei na mesma resposta que postei.

Abraços!


\frac{71000}{(1+2,5\%)^{10}} = 71000\times\bf{0,781198}

e não

71000 \times \bf{3,629314}.

Confira!

Boa noite.

Opa!

Faltou um termo a multiplicar, Luiz...

\\\dfrac{71\,000}{\left(1+2,5\%\right)^{10}}\overbrace{\bf{\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]}}^{\text{Faltou este termo}}

Daí, fazendo as continhas chega em:
\\71\,000\cdot \bf{3,629314}

Abraços!
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 02:02

Luiz, tem outra forma de fazer:

Podemos considerar um fluxo de caixa de 15 meses de 71mil, e subtrair 10 meses de 30mil (para obter os 41mil) e depois subtrair 5 meses de 20mil (para obter os 21mil).
Assim:
\\\displaystyle{PV\cdot\left(1+2,5\%\right)^{6,5}=71\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-15}}{2,5\%}\right]-30\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-10}}{2,5\%}\right]-20\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]}\\\\\displaystyle{PV\cdot 1,025^{6,5}\approx 71\,000\cdot 12,381378-30\,000\cdot 8,752064 -20\,000\cdot 4,645828}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 445\,958,00}}

Entendeu?
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 10:45

baltuilhe escreveu:Luiz, tem outra forma de fazer:

Podemos considerar um fluxo de caixa de 15 meses de 71mil, e subtrair 10 meses de 30mil (para obter os 41mil) e depois subtrair 5 meses de 20mil (para obter os 21mil).
Assim:
\\\displaystyle{PV\cdot\left(1+2,5\%\right)^{6,5}=71\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-15}}{2,5\%}\right]-30\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-10}}{2,5\%}\right]-20\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]}\\\\\displaystyle{PV\cdot 1,025^{6,5}\approx 71\,000\cdot 12,381378-30\,000\cdot 8,752064 -20\,000\cdot 4,645828}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 445\,958,00}}

Entendeu?


E o expoente 6,5 do primeiro membro?

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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 11:08

rohzm54 escreveu:
Uma empresa propõe pagar uma dívida da seguinte forma: 12 parcelas bimestrais iguais e postecipadas no valor de R$ 10.000,00, e mais quatro parcelas quadrimestrais intermediárias de valor R$ 15.000,00 iniciando no quarto mês após a negociação. Sendo a taxa do negocio igual a 1,8% ao mês, calcule o valor da dívida sabendo que teve uma entrada de R$ 20.000,00.

Meu caro,

Você 'editou' a questão? Os números já não estão mais batendo com a resolução que fiz.

Abraços!
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 11:19

Luiz 2017 escreveu:
baltuilhe escreveu:Luiz, tem outra forma de fazer:

Podemos considerar um fluxo de caixa de 15 meses de 71mil, e subtrair 10 meses de 30mil (para obter os 41mil) e depois subtrair 5 meses de 20mil (para obter os 21mil).
Assim:
\\\displaystyle{PV\cdot\left(1+2,5\%\right)^{6,5}=71\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-15}}{2,5\%}\right]-30\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-10}}{2,5\%}\right]-20\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2,5\%\right)^{-5}}{2,5\%}\right]}\\\\\displaystyle{PV\cdot 1,025^{6,5}\approx 71\,000\cdot 12,381378-30\,000\cdot 8,752064 -20\,000\cdot 4,645828}\\\\\displaystyle{\boxed{PV\approx 445\,958,00}}

Entendeu?


E o expoente 6,5 do primeiro membro?

Boa tarde, Luiz!

Vou explicar:
rohzm54 escreveu:
Uma empresa efetuou um financiamento cuja proposta de pagamento da vendedora é ser pago em 15 parcelas bimestrais postecipadas iniciando o primeiro pagamento um mês após carência de 14 meses. As cinco primeiras parcelas serão de R$ 21.000,00, as cinco parcelas seguintes, de R$ 41.000,00 e as cinco últimas de R$ 71.000,00. A empresa por questão financeira deseja trocar esses pagamentos, por outro em que: continuam 15 parcelas postecipadas agora trimestrais iguais e consecutivas, iniciando um mês após 17 meses de carência. De posse dos valores, calcular o valor dessas 15 parcelas trimestrais sabendo que o primeiro acordo a taxa foi negociada a 15% ao ano capitalizada bimestralmente, e no segundo modo de pagamento a taxa é de 18% ao ano.
Essa é a questão original.

O primeiro pagamento será um mês após carência de 14 meses, ou seja, no final do 15º mês. Como os pagamentos são bimestrais isso seria no 7,5º bimestre, correto?
A fórmula \displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]} foi desenvolvida a partir de uma prestação paga 1 período após a contração da dívida, certo (PV e PMT tem diferença de 1 período, no caso, período bimestral no exercício)? Portanto, se iremos pagar no início do 7,5º bimestre devemos atualizar a dívida até o 6,5º bimestre (1 bimestre a menos) de maneira à expressão poder ser utilizada.

Espero ter explicado bem! Smile

Abraços! Smile
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Jan 13 2018, 11:30

Bom, não temos o gabarito para aferir.

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Re: Matemática Financeira

Mensagem por baltuilhe em Sab Jan 13 2018, 23:32

Montei em uma planilha... se quiser uma cópia, posso mandar para vc dar uma 'namorada' Smile
Abraços! Wink
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Re: Matemática Financeira

Mensagem por JOSE AAAA em Dom Jan 14 2018, 01:02

baltuilhe escreveu:Montei em uma planilha... se quiser uma cópia, posso mandar para vc dar uma 'namorada' Smile
Abraços! Wink
SE TIVER COMO ME MANDAR NO PRIVADO, SEREI GRATO.

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