(RÚSSIA) Geometria Plana

por **Giovana Martins** Sáb 25 Nov 2017, 19:43

A partir da figura a seguir determine a razão r/c e, posteriormente, determine o intervalo ao qual pertence a razão r/c.

por Convidado Sáb 25 Nov 2017, 20:32

Fiquei um tempão tentando fazer, mas foi só depois que vi que era um triângulo retângulo, kkk.

Sejam a e b os catetos.
a^2 + b^2 = c^2 => (a+b)^2 -2ab = c^2 => (a+b) = V(c^2 + 2ab)

r = (a + b - c)/2 = V((c^2 + 2ab) - c)/2 => r/c = (V(1 + 2ab/c^2) - c)/2

Pela desigualdade x + y => 2V(xy), temos:
c^2 => 2ab, logo 1/2 => ab/c^2

A resposta, então, é:
0 < x <= (V2 - 1)/2

por **Giovana Martins** Sáb 25 Nov 2017, 21:08

Fiquei um tempão tentando fazer e também encontrei um outro modo de resolver:

Seja β um dos ângulos agudos, logo, os catetos medirão ccos β e csen β.

Pelo Teorema de Poncelet:

ccos β+csen β=c+2r

(r/c)=[(sen β+cos β-1)/2]

Aqui está a sacada (lembro que vi isto em uma apostila do ITA no site Rumo ao ITA - obrigada, Rumo ao ITA):

Como β é um ângulo agudo ele satisfaz a seguinte desigualdade:

1 < sen β+cos β ≤ √2

0 < sen β+cos β-1 ≤ √2-1

0 < (sen β+cos β-1)/2 ≤ (√2-1)/2

∴ 0 < (r/c) ≤ (√2-1)/2

Obrigada, Light.

por Convidado Sáb 25 Nov 2017, 21:19

A segunda parte da desigualdade é demonstrada pelo lema poderoso (era assim que o livro para ITA chamava):
(a1+a2)^2/(b1+b2) <= (a1^2)/b1 + (a2^2)/b2

(sin(x)+cos(x)) <= V2