IME 2a fase Geometria Espacial

Seja um triângulo ABC, retângulo em A. Por B, traça-se uma reta perpendicular ao plano do triângulo. Sobre esta, fixa-se um ponto S. Por B, passa-se um plano que intercepta SC em C' e seja perpendicular a SC. O plano corta SA em A'. Demonstre que os cinco pontos A, B, C, A' e C' pertencem a uma mesma esfera.

Olhe primeiro o triângulo ABC, ele é retângulo em A, sendo assim, a circunferência circunscrita a ele tem centro no ponto médio de BC.

Agora veja o triângulo BCC'. Tendo dito que o plano que passa por B intercepta SC perpendicularmente, então C' é um ângulo reto, então o centro da circunferência que por eles passa também é centrada no ponto médio de BC. 

O mesmo vale para o triângulo BCA', já que, lembrando, ABC é retângulo em A, então o plano que passa por B e A' também é perpendicular a SA.

Tendo o mesmo centro e mesmo raio ((BC)/2), essas circunferências que contêm os pontos citados fazem parte de uma mesma esfera.

Acho que é isso, mas fiquei meio confuso na parte do plano, então não tenho certeza, me corrijam se eu estiver errado.

Cara, muito boa a resolução. Porém eu ainda não consegui visualizar que BÂ'C = 90°
Você poderia tentar me explicar novamente?

Geometria espacial precisa de muita imaginação pra resolver as questões mesmo, confesso que no início eu fui por rumo lembrando apenas que o centro da esfera estava em BC, mas agora fiz um desenho mais "entendível" aqui e consegui visualizar melhor, enfim:

Siga os passos da questão e desenhe a figura, vai ver que caiu em um tetraedro biquadrado ABCS, agora faça um plano que passe por B e corte perpendicularmente o segmento SC, esse plano, por ser perpendicular a SC, consequentemente vai ser perpendicular a todo o plano do triângulo ACS (que contém o ponto A'), agora só falta analisar os triângulos, sempre com base em BC, que vai conter o centro da esfera, então analise BCA, BCA' e BCC', acho que já entendeu que C' é reto, agora só falta A'.

Veja então que A'C está no mesmo plano do triângulo ACS, e lembre também que o plano de BC'A' é perpendicular ao plano de ACS, pronto, é retângulo em A'.

Lembrando que eu sou muito ruim em desenhar, então tá tudo meio confuso aqui ainda, então posso estar viajando achando que entendi kkk mas penso que seja essa a resposta mesmo.

Vlw, cara, deu uma boa clareada aqui agora haha. Agora realmente consegui pegar a ideia, custou um pouco mas agora entendi graças a sua explicação acompanhada de uns três desenhos aki kkkk. Obrigado! ^^

Essa dai é uma imagem bemmmm +- da figura da questão.
Irei colocar uma outra ideia para mostrar que o triângulo BA'C é retângulo em A'. Primeiramente ligue o ponto C com o ponto A' , por construção é fácil perceber que o ângulo CAA' = 90°, dessa forma, nos triângulos CAA' e BAA' temos que:
CA² + AA'² = CA'²  (I)
AA'² + BA'² = AB² → BA'² = AB² - AA'²  (II)

Somando (I) com (II) iremos encontrar que:

BA'² + CA'² = AB² + CA²

No triângulo ABC temos que AB² + CA² = BC², com isso, da relação acima, tiramos que:

AB² + CA² = BA'² + CA'² = BC²

Dessa forma temos que o triângulo CBA' é retângulo em A', com hipotenusa BC, com isso os pontos tudo lá pertencem a uma mesma esfera

Muito bom. Essa ideia de separar os catetos através de outros triângulos retângulos para somá-los esclarece o problema. Vlw por mais essa saída ^^ (e pelo desenho xd)