Derivação Implícita

por **Eduardo Sicale** Seg 25 Set 2017, 15:13

Encontre as equações de ambas as retas tangentes à elipse x² + 4y² = 36 que passam pelo ponto (12,3).

Não tenho gabarito.

Obs. O problema envolve derivação implícita.

Obrigado !

por Matemathiago Ter 26 Set 2017, 14:46

Você pode resolver sem o uso de derivadas.

Basta falar que a equação da reta é y=ax+b,

12 = 3a + b

Então, b = 12-3a

y = ax + 12 - 3a

Aí substitui esse y na elipse, e, em função de x, faz com que delta seja igual a zero.

por Matemathiago Ter 26 Set 2017, 14:49

Se seu problema for encontrar a derivada:

2x + 8yy' = 0

4yy' = -x

y' = -x/4y

por **Eduardo Sicale** Ter 26 Set 2017, 18:21

Olá, Thiago. Fiz muita conta e não cheguei no resultado. Se você puder, tenta fazer usando a derivação implícita.

por **Eduardo Sicale** Qua 27 Set 2017, 16:01

Olá. Consegui desenvolver essa questão. Temos de usar a derivação implícita para facilitar a resolução. Vou colocar a resolução para análise caso haja interesse dos colegas.

x² + y² = 36 ---> dy/dx = 2x + 8y.y´= 0 ---> y´= -x/4y

P1 (12,3) e P2 (x,((36-x²)/4)^1/2)

-x/4y = (((36-x²)/4)^1/2)- 3)/(x - 12) ---> coeficiente angular das retas

x = 0 e x = 24/5

Substituindo em y:

quando x = 0 ----> y = 3
quando x = 24/5 ----> y = -9/5 ----> usar o sinal negativo da raiz

Reta 1 ---> P1(12,3) e P2(0,3) ---> y - 3 = 0.(x - 0) ---> y = 3

Reta 2 ---> P1(12,3) e P2(24/5,-9/5) ---> y+(9/5) = (2/3)*(x-(24/5)) --->
y = (2/3)*x - 5

Fazendo Delta = 0 como falou o Thiago a conta sai enorme, e esse método é mais fácil.