Olimpíada de Portugal - Gravitação

Uma recordação do Sistema Solar

O Extraterrestre de nome impronunciável não conseguia esconder a felicidade:
_Pai, gostei tanto desta viagem à Terra! Queria mesmo levar uma recordação....
_ E por que é que não usas o teu redutor e levas o próprio Sol e a Terra ? - devolveu o pai
_ Excelente ideia, pai! Vou reduzi-los de modo que a distância média Terra-Sol seja de 1m, e os restantes tamanhos serão reduzidos proporcionalmente. Assim cabe no meu quarto...
_Mas no processo de redução mantém a densidade dos astros constante e não a sua massa, senão ficas com dois buracos negros....
Assumindo que a órbita da Terra em torno do Sol é circular e que o Sol é um corpo esférico com densidade uniforme, determine qual é o período orbital do sistema Sol-Terra depois da redução.
A distância Terra-Sol vale 1,5x10^11m.

R: 1 ano

Gente, poderiam me explicar essa questão tensa ? Estou há quase 1h nela e não flui.
Obrigado.

Vamos escrever o período orbital em função do raio da órbita e do raio do Sol, usando para isso a densidade do Sol (\sigma). Note que a massa do planeta não interfere no período.



obtivemos a expressão acima cujo termo destacado em vermelho representa o cubo de medidas lineares que serão reduzidas pelo mesmo fator. Dessa maneira essa razão permanece inalterada indicando que o período não sofrerá variação, permanecendo igual  a 1 ano.

muito obrigado, euclides.