Questão OBM

O nível da prova é o 2 (8 e 9 ano), porém o conteúdo é de gente grande rsrs

Na figura a seguir, o ângulo ABC é reto; a reta r corta os segmentos AB e BC em D e E, respectivamente; as retas CD e AE se cortam em F; P e Q são as projeções ortogonais de A e C sobre a reta r, respectivamente. 

Sendo o ângulo entre as retas CD e AE igual a m(AFD = 40º) , a medida de PBˆQ , em graus, é:
A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 160 


Resolução:  Como = = 90° APˆE ABˆE , o quadrilátero APBE é inscritível. Da mesma maneira, o quadrilátero DBQC é inscritível. Assim, temos que PBˆA = PEˆA e que QBˆC = QDˆC . Daí, PBˆQ = PBˆA + 90° + QBˆC = PEˆA + 90° + QDˆC . Mas no triângulo DEF, temos pelo teorema do ângulo externo que 40° = AFˆD = PEˆA + QDˆC . Assim, = 90° + 40° = 130° PBˆQ .

Dúvida: Não consigo sair da primeira frase da resolução. Por que o quadrilátero APBE é incritível? Não consigo provar que seus ângulos opostos são suplementares, como faço isso?

AE é a hipotenusa do triângulo APE, portanto este triângulo pode ser inscrito num semicírculo.
Mas AE também é a hipotenusa do triângulo ABE, que pode ser inscrito no mesmo semicírculo.
Portanto o referido quadrilátero é inscritível.