Geometria Espacial (área lateral, altura)

416. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8 cm e a área lateral igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide.

Eu anotei que:
Área Lateral = 3/5 * At

Área Base = 8*8
Área Base = 64

Área Lateral = 4 * Área da Base * altura * 1/2.

Área Lateral = 4 * 64 * 1/2 * Altura
Área Lateral = 128 * altura

Área Total = área base + área lateral
Área total = 64 + (128 * h)

Logo, se área lateral = 3/5 da área área total

128*h = 3/5 * (64 +128 * h)

128 * h = 192/5 + 384 *h/5

640 * h = 192 + 384*h

256*h = 192

h = 3/4

Se a altura é 3/4. A área lateral é:

Área Lateral = 128 * h
Área Lateral = 128 * 3/4
Área lateral = 96 cm²

Está correto?

Existem duas alturas:

1) Altura h da pirâmide
2) Altura H de cada face lateral triangular em relação à base 8

Apótema da base ---> a = 8/2 ----> a = 4

H² = h² + a² --> H² = h² + 4² ---> H = √(h² + 16)

Área de cada face lateral ---> S' = 8.H/2 ---> S' = 4.√(h² + 16)

Área lateral ---> Sl = 4.S' ---> Sl = 4.[4√(h² + 16)] ---> Sl = 16.√(h² + 16)

Área da base ---> Sb = 8² ---> Sb = 64

Área total da pirâmide ---> St = Sb + Sl ---> St = 64 + 16.√(h² + 16)

Sl = (3/5).St ---> 5.Sl = 3.St ---> 5.[16.√(h² + 16)] = 3.[64 + 16.√(h² + 16)] --->

32.√(h² + 16) = 192 ---> √(h² + 16) = 6 ---> h² + 16 = 36 --> h = 2.√5 cm

Sl = 16.√(h² + 16) ---> Sl = 16.√(20 + 16) ---> Sl = 96 cm²