Progressão- soma de termos

por Liliana Rodrigues Ter Abr 25 2017, 17:14

Considere a igualdade:
(1+3+5+...+179)/ (2^a + 2^2a + 2^3a+ ...) = 8100

*imagem pra entender melhor*
O valor de a que satisfaz a igualdade pertence ao intervalo:
a) [-2,3].
b) [0,5].
c) [2,5].
d) [-5,-3].
e) [-1/2, 2].
Eu percebi que o numerador está em p.a com razão=2
Fazendo as contas, a quantidade total de termos do numerador é igual a 90, e somando todos esses termos, o resultado é 8100, então o denominador tem que ser igual a 1. Mas travei nessa parte... Alguém pode me ajudar??

por **fantecele** Ter Abr 25 2017, 18:06

A parte de baixo é a soma dos termos de uma PG infinita com 1° termo igual a 2^a e razão 2^a.

A soma dessa PG deve ser igual a 1. Se "a" for maior que zero obviamente a soma dos termos dessa PG não seria igual a 1, então "a" deve ser menor que zero.
Sendo a < 0 a PG irá ter razão entre 0 e 1, ou seja, a PG é decrescente. Dessa forma a soma dos termos dessa PG será:
2^a/(1 - 2^a) = 1
2^a = 1 - 2^a
2.2^a = 1
2^a = 2^(-1)
a = -1
Portanto a está no intervalor [-2,3]

Soma de uma PG decrescente infinita é dada por a1/(1 - q), sendo a1 o primeiro termo e q a razão.