Progressão Geométrica (Soma dos Termos da PG)

por Lucas Guedes Qui 31 Mar 2016, 10:09

Seja x um número real não nulo, tal que -1 < x < 1 . Calcule a soma:

$x- \frac{x}{3} + x^2- \frac{x}{9} + x^3- \frac{x}{27} + x^4- \frac{x}{81} +...$

O que fiz foi o seguinte:

$q= \frac{a_1}{a_2} \Rightarrow q= \frac{x^2 - \frac{x}{9} }{x- \frac{x}{3}} \Rightarrow q= \frac{ \frac{9x^2-x}{9}}{ \frac{2x}{3}} \Rightarrow q= \frac{9x^2-x}{9}. \frac{3}{2x} \Rightarrow\\ \Rightarrow q= \frac{3(9x^2-x)}{3(6x)} \Rightarrow q= \frac{3x(9x-1)}{3x(6)} \Rightarrow q=\frac{9x-1}{6}$

Vemos, então, que $\left(x- \frac{x}{3};x^2-\frac{x}{9};x^3-\frac{x}{27};... \right)$ é uma PG de razão $q=\frac{9x-1}{6}$ . Portanto o limite da soma de seus termos será:

$\lim_{n\rightarrow \infty }S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{x-\frac{x}{3}}{1- \frac{9x-1}{6}}= \frac{\frac{2x}{3}}{\frac{5-9x}{6}}= \frac{2x}{3} \left( \frac{6}{5-9x} \right)\\ \lim_{n\rightarrow \infty}S_n= \frac{12x}{15-27x}= \frac{3(4x)}{3(5-9x)}= \frac{4x}{5-9x}$

Resposta:

por **Elcioschin** Qui 31 Mar 2016, 10:30

Separando em duas PGs

Sa = x + x² + x³ + ..... ---> a1 = x ---> q = x ---> Sa = x/(1 - x)

Sb = - (x/3 + x/9 + x/27 + ...) ---> a'1 = x/3 ---> q' = 1/3 --->

Sb = - (x/3)/(1 - 1/3) ---> Sb = - x/2

S = Sa + Sb ---> S = x/(1 - x) - x/2 ---> S = (x² + x)/2.(1 - x)

Lucas

Você supôs que cada par de termos constitui uma PG, mas NÃO provou isto

Para provar, você deveria ter calculado a3/a2 e provar que a3/a2 = a2/a1