OPM - 2005

Considere um quadrilátero ABCD que possui um círculo inscrito e um circunscrito. Os lados AD e BC são tangentes ao círculo inscrito nos pontos E e F, respectivamente. Mostre que (AE).(FC) = (BF).(ED)

Os pontos de intersecção dos lados AB e DC com o circulo inscrito são G e H respectivamente.
O centro do circulo inscrito é O.
Ligue o centro do circulo inscrito com os lados do quadrilátero ABCD e com os pontos de tangência. Iremos formar vários triângulos retângulos semelhantes.
Os triângulos AEO e AGO possuem todos os lados iguais. É fácil perceber que os ângulos EAO e GAO são iguais a β. Os triângulos CHO e CFO também possuem todos os lados iguais e os ângulos OCH e OCF são iguais a δ.
Sendo o quadrilátero ABCD inscritível:
2δ + 2β = 180°
δ + β = 90°
Com isso os triângulos AEO e CFO são semelhantes.
AE/OF = OE/FC
OF = OE = r (centro do circulo inscrito)
r² = AE.FC

De forma análoga podemos deduzir que os triângulos DEO e BFO são semelhantes.
BF/OE = OF/ED
OE = OF = r
r² = BF.ED

Dessa forma BF.ED = AE.FC