Diferença de Raízes

A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10 é :

A)

B) 

C) 

D) 

E)


Obs Sem Gabarito

(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10
(60x² + 2x + 30x + 1)(15x² + 3x + 5x + 1) = 10
(60x² + 32x + 1)(15x² + 8x + 1) = 10
(4(15x² + 8x) + 1)((15x² + 8x) + 1) = 10

Fazendo 15x² + 8x = k

(4k + 1)(k + 1) = 10
(4k² + 4k + k + 1) = 10
4k² + 5k + 1 = 10
4k² + 5k - 9 = 0
k = 1 ou k = -9/4

15x² + 8x = 1 (I) ou 15x² + 8x = -9/4 (II)

Em (II) teremos raízes complexas e em (I) as raízes serão ( )

Portanto a diferença entre a maior e a menor raiz é:

Essa eu fiz pela força bruta. Deve ter outra forma mais bonita.

Expanda a expressão.
Eu não sei explicar (e também não quero, é muito longo) a fatoração desse polinômio de grau 4 para 2 de grau 2. Tem um arquivo na internet que ensina várias técnicas para fatoração de polinômios.
900x^4 +960x^3 + 331x^2 + 40x - 9
15x^2                     8x                    -1
60x^2                     32x                   9

(15x^2+8x-1)(60x^2 + 32x +9)
O primeiro fator é o que possui soluções reais.
Lembre-se que se um polinômio tem coeficientes racionais, então se tiver uma raiz irracional da forma a+bV(c), é necessário que tenha outra na forma a-bV(c).