Sistemas de numeração

Boa tarde, me ajudem por favor

Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo n por outro número inteiro e positivo de 2 algarismos, invertemos a ordem dos algarismos deste segundo número, o resultado fica aumentado de 261. A soma dos algarismos que constituem o número de n será:

a)10
b)11
c)12
d)13
e)14

Boa noite.

Vejamos... Sejam a e b os algs do segundo número. Então

n(ab) = n(ba) - 261

n[(ba)-(ab)]=261

261 = 3².29

n[(ba)-(ab)]=3².29

Concluímos então que ou n é múltiplo de 29, ou (ba)-(ab) o é. Porém, o enunciado nos restringiu ao caso em que n possui dois algarismos, enquanto (ba)-(ab) PODE POSSUIR apenas um algarismo. O que nos resta afirmar? Apenas que n deve ser múltiplo de 29. 

Primeira opção: n = 29 e (ba)-(ab) = 9.

Perfeitamente possível, pois se (ab) = 45, então (ba) = 54, e daí segue o resultado. Além disso, podemos ter (ab) = 56 e (ba) = 65, (ab) = 34 e (ba) = 43... b = a+1, dessa forma (a+1)(a) - (a)(a+1) = 9, a = 1,2,3,4,5,6,7,8.

Segunda opção: n = 29.3 = 87 e (ba)-(ab) = 3.

b>a, logicamente, então b = a+k, com k sendo inteiro positivo. Então devemos encontrar um k tal que (a+k)(a)-(a)(a+k) = 3. Para k = 1, não há igualdade (ver o raciocínio acima). Para k = 2, também não haverá igualdade. Generalizando apenas para ficar mais claro:

(a+1)(a)-(a)(a+1) = 9
(a+2)(a)-(a)(a+2) = 18 = 2.9
(a+3)(a)-(a)(a+3) = 27 = 3.9
...
(a+k)(a)-(a)(a+k) = k.9

Conclusão: não existe um k tal que (a+k)(a)-(a)(a+k) = 3. Logo n = 29.