Ângulos dentro de Pentágono

Seja ABCDE um pentágono com AE = ED, AB + CD = BC e o ângulo BAE + o ângulo CDE = 180 graus. Prove que o ângulo AED = o dobro do ângulo BEC.

α β γ δ λ
α+δ=180º , logo, cos(α)=-cos(δ) e sen(α)=sen(δ)

Vamos adotar o ângulo BEC=x2, AEB=x1 e CED=x3
onde λ=x1+x2+x3

Veja os ângulos ABE=δ-x1 ; DCE=α-x3

Assim como, AFB=x+x1 ; CGD=x+x3

Observando os ângulos do triângulo ∆DEI:
DEI=x3 ; DIE=u+α-x3 ; IDE=α-u

Somando, o resultado deve ser π

x3+u+α-x3+α-u=π

α=π/2

Do mesmo jeito, encontramos δ=π/2

Lei dos cossenos em ∆BEC:
 BC²=BE²+CE²-2BE*CE*cos(x2)

\cos{x_2}=\frac{\overline{BE}^2+\overline{CE}^2-\overline{BC}^2}{2\overline{BE}\cdot \overline{CE}}

Lei dos senos

∆AEB:
BE/sen(α)=AB/sen(x1)=AE/sen(δ-x1)


∆CED:
CE/sen(δ)=CD/sen(x3)=DE/sen(α-x3)

Logo \overline{CD}=\overline{AB}\frac{\sin{x_3}}{\sin{x_1}}\frac{\sin{(\delta-x_1)}}{\sin{(\alpha-x_3)}}

e também que BC=AB+CD -> BC²=AB²+CD²-2AB*CD

Substituindo:

\cos{x_2}=\frac{\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{x_1}}\overline{AB}^2+\frac{\sin^2{\delta}}{\sin^2{x_3}}\overline{CD}^2-\overline{AB}^2-\overline{CD}^2-2\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{2\frac{\overline{AB}\cdot \overline{CD}\sin{\alpha}\sin{\delta}}{\sin{x_1}\sin{x_3}}}

\cos{x_2}=\frac{\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{x_1}}\overline{AB}^2+\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{x_1}}\frac{\sin^2{\delta-x_1}}{\sin^2{\alpha-x_3}}\overline{AB}^2-(1+\frac{\sin^2{x_3}}{\sin^2{x_1}}\frac{\sin^2{(\delta-x_1)}}{\sin^2{(\alpha-x_3)}})\overline{AB}^2-2\overline{AB}^2\frac{\sin{x_3}}{\sin{x_1}}\frac{\sin{(\delta-x_1)}}{\sin{\alpha-x_3}}}{2\frac{\sin^2{\alpha}\sin{x_3}\sin{(\delta-x_1)}}{\sin{x_1}\sin{x_3}\sin{x_1}\sin{(\alpha-x_3)}}\overline{AB}^2}

Lembrando que α=π/2 ; δ=π/2

\cos{x_2}=\frac{\frac{1}{\sin^2{x_1}}+\frac{\cos^2{x_1}}{\cos^2{x_3}\sin^2{x_1}}-(1+\frac{\sin^2{x_3}}{\sin^2{x_1}}\frac{\cos^2{x_1}}{\cos^2{x_3}})-2\frac{\sin{x_3}}{\sin{x_1}}\frac{\cos{x_1}}{\cos{x_3}}}{2\frac{\cos{x_1}}{\sin^2{x_1}\cos{x_3}}}

\cos{x_2}=\frac{\cos{x_2}}{2\cos{x_1}}+\frac{\cos{x_1}}{2\cos{x_3}}-\frac{\sin^2{x_1}\cos{x_3}}{2\cos{x_1}}-\frac{\cos{x_1}\sin^2{x_3}}{2\cos{x_3}}-\sin{x_1}\sin{x_3}

\cos{x_2}=\frac{\cos^2{x_3}+\cos^2{x_1}-\sin^2{x_1}\cos^2{x_3}-\sin^2{x_3}\cos^2{x_1}}{2\cos{x_1}\cos{x_3}}-\sin{x_1}\sin{x_3}

\cos{x_2}=\frac{2\cos^2{x_1}\cos^2{x_3}}{2\cos{x_1}\cos{x_3}}-\sin{x_1}\sin{x_3}

\cos{x_2}=\cos{x_1}\cos{x_3}-\sin{x_1}\sin{x_3}

\cos{x_2}=\cos{(x_1+x_3)}

x_2=x_1+x_3

2x_2=x_1+x_2+x_3

2x_2=\lambda

Foi mal pelo tanto de contas  :drunken:, mas foi  a solução mais viável que eu encontrei. Se tiver outra, posta aí. Abraço!

Veja se concorda.

Entendi

Construção de reta suporte do lado CD, com marcação do comprimento a no ponto F.
Ângulo externo ao pentágono em D é igual ao ângulo BAE.
Congruência dos triângulos ∆DEF=∆AEB, pelo caso LAL, logo EF=BE.
Congruência dos triângulos ∆CEF=∆CEB, pelo caso LLL. Logo CBE=CFE.
Do mesmo jeito ECF=EBC. Percebemos que ∆BEG=∆FED, pelo caso LAL, logo EG=b. Assim como BGE=BAE. 
Mais uma vez, encontramos que ∆CDE=∆CGE, pelo caso LAL. Assim, CED=CEG. 
Finalmente vemos que X=CEG+BEG e que
Ê=AEB+BEG+CEG+CED, só que AEB=BEG, assim como CEG=CED, logo
Ê=2(BEG+CEG)
Portanto,
Ê=2X.

Chegou ao mesmo? Gostei da resolução! 

Isso mesmo!

Você estuda no IME?

Sim, amigo! Abraço!