Equação com incógnita no denominador

Boa noite a todos.
A equação é:

Bom, já sei que:
I- X²-1=/=0  =>  X=/= +-1
II- X+1=/=0 =>  X=/= -1
III- 3(X-1)=/=0 => X=/= 1

E sei que o próximo passo é igualar os denominadores, mas o problema é justamente esse: como faço pra tirar o MMC com esse tanto de incógnita?

se fizer mmc só de um lado fica 

4/x²-1=(x²-1).(x+1)-9/4(x²-1).(x-1)
              3(x²-1)

que se for desenvolvido até rende alguma coisa mas cheguei em x=√13 e x=-53/5 

:/

Aqui no livro o autor simplificou chegando à 12=9(x-1)-4(x+1)

Você complicou:

Multiplique os dois membros pelo mmc = 3.(x - 1).(x + 1) = 3.(x² - 1):

3.4 = 3.3.(x - 1) - 4.(x + 1)

12 = 9.x - 9 - 4.x - 4

5.x = 25

x = 5

Professor, então sempre que eu chegar a um caso como este basta multiplicar os denominadores de todos os membros entre si? Foi o que o senhor fez?

Sim: é o mesmo que tirar o mmc, só que mais rápido

Aí, não sei se vai facilitar pra você, mas vou tentar. Tem como somar fração sem decorar regra, a única regra que você vai precisar gravar é que frações só se somam ou se subtraem se estiverem com os mesmos denominadores. Primeiramente, pegue um caderno e uma caneta para você não se perder. Antes de te mostrar a ideia, quero que você atente para o que há de especial nessas seguintes frações: 2/2, 3/3, 4/4... (n-1)/(n-1), n/n. Perceba que todas elas são 1, perceba que existe várias formas de eu representar o número 1, e essas infinitas representações do número 1 vai nos beneficiar em somas de frações. Veja que um número não se altera quando ele é multiplicado por 1, certo? Ex.: 3.1=3, 3.(2/2)=3(veja que o 2/2 é 1). Outra coisa tbm é perceber que multiplicar dos dois lado de uma equação pelo mesmo valor não vai alterá-la, certo? Ex.: 2=2 multiplicando por 3 dos dois lado da igualdade a equação não vai se alterar 3.2=3.2 ficando 6=6. Perceba que os valores da igualdade mudou, e não a igualdade. 6 continua sendo igual a 6, assim como, 2 é igual a 2. Pronto, com isso em mente da pra continuar. 

Agora sim vai ficar facinho: 3/2+7/3 ? Veja que você tem que deixar os denominadores iguais para poder pensar em somar( essa é a única regra). E a notícia boa, é que, você que escolhe o denominador em comum para as frações. Eu vou escolher o 6, pois, se eu multiplicar a primeira fração por 3/3( veja que 3/3 é 1, portanto não vai alterá-la) e a segunda fração por 2/2( que tbm é 1), ficaria: (3/3).3/2 + 7/3.(2/2) = 9/6+14/6(veja que os denominadores estão iguais, portnto posso somar) = (9+14)/6 = 23/6. Perceba que eu manipulei para os denominadores ficarem iguais escolhendo o menor multiplo comum entre 2 e 3, eu poderia escolher o 12, 18, 24.. vários multiplos, mas eu escolhi o menor que é 6 pra facilitar as contas e evitar de ficar simplificando muito o resultado no final. Quando se pega denominadores não primos entre sí, fica igual tirar docinho de criança: 5/3+2/6= (2/2).5/3 + 2/6= 10/6+2/6= 12/6 = 2. Mais fácil ainda quando vem com um denominador 1, assim: 4+2/3 = (3/3).4+2/3= 12/3+2/3= 14/3.

A lição que fica, é que, qualquer coisa dividida por qualquer coisa sempre vai da 1. Portanto, na tua questão 4/(x²-1)=3/(x+1)-4/3(x-1), ficaria assim: Veja que (x-1)/(x-1)=1, (x+1)/(x+1)=1 e que (x-1).(x+1)=(x²-1)(isso é um produto notável, dê uma revisada caso se esqueceu) logo, eu uso a multiplicação por 1 de forma inteligente 4/(x²-1)=[3/(x+1)].[(x-1)/(x-1)]-4/3(x-1).[(x+1)/(x+1)] ficando, 4/(x²-1)=[3(x-1)/(x²-1)]-4(x+1)/[3(x²-1)]. Perceba que já da pra cortar todos os "(x²-1)" ,ou melhor, se você multiplicar os dois lado da equação por (x²-1) da pra você visualizar a simplificação no caderno. Então, veja que a euqação ficou assim: 4=3(x-1)-4(x+1)/3. Agora é subtração de frações com denominadores 3 e 1, acredito que você já desenrola daqui. Mas, pra da continuidade com a ideia, multiplicando os dois lado da equação por 3 veja que ele some e fica assim: 12=9(x-1)-4(x+1). Pronto, agora é só distribuir e resolver a equação. Não sei se ajudou muito, mas a ideia sem decorar regra é assim. Vai ver, você se identifique.

Muito obrigado a todos. Acho que eu estava tendo problema com o produto notável.
E valeu por essa dica das frações equivalentes a 1, Priimo.

Motteitor escreveu:Muito obrigado a todos. Acho que eu estava tendo problema com o produto notável.
E valeu por essa dica das frações equivalentes a 1, Priimo.

Valeu, jhoww! Tamos aí!