Binômio de Newton

por **LPavaNNN** Sex 25 Nov 2016, 02:32

demonstre que $\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2=\binom{2n}{n}$

por Dabaragadiga Ter 29 Nov 2016, 15:51

O segredo é expandir $Binômio de Newton Gif$ em duas formas:

$Binômio de Newton Gif.latex?%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B2n%7D%5Cbinom%7B2n%7D%7Bk%7Dx%5Ek%3D%281+x%29%5E%7B2n%7D%3D%5Cleft%28%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dx%5Ek%5Cright%29%5Cleft%28%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dx%5E%7Bn-k%7D%5Cright%29$

Na somatória da esquerda o coeficiente de $Binômio de Newton Gif$ é $Binômio de Newton Gif$ em quanto o da direita é:

$Binômio de Newton Gif.latex?%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5E2$

Consequentemente:

$Binômio de Newton Gif$

Generalizando, então temos:

$Binômio de Newton Gif.latex?%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5Cdisplaystyle%20%5Cbinom%7Bmn%7D%7Bn%7D%3D%5Csum_%7Bk_1+%5Ccdots+k_m%3Dn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk_1%7D%5Ccdots%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk_m%7D$

Créditos: http://math.stackexchange.com/questions/957804/proving-binom-n-0-2-binom-n-1-2-dots-binom-n-n-2-binom-2n-n

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