ITA 2007 geometria espacial

por Lucas Frazão Sex 04 Nov 2016, 18:51

Os quatro vértices de um tetraedro regular,de volume 8/3 cm³,encontram-se nos vértices de um cubo.Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1cm de raio.Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

gabarito:

Grato desde já.

por **Claudir** Sex 04 Nov 2016, 22:49

Os lados do tetraedro serão as diagonais das faces do cubo (faça a figura).

$l=a\sqrt{2}$

Mas o volume do tetraedro é dado por:

$V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12}$

Logo:

$\\\\V=\frac{(a\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12}=\frac{a^3}{3}=\frac{8}{3}\\\\\to a=2$

O volume em questão será, então, dado pela subtração entre o volume do cubo e 8 vezes (1 para cada vértice) 1/8 de esfera:

$V'=V_c-8.\frac{1}{8}.V_e=a^3-\frac{4}{3}.\pi.1^3=\boxed{8-\frac{4\pi}{3}}$