numeros complexos

por ary silva 15/2/2011, 9:19 pm

Mostre que se, n é par, então o polinomio

p(x) = x^n + x^n+1 +....+ x+1 não possui raizes reais

infelizmente sem gabarito

obrigado

por **Euclides** 15/2/2011, 11:23 pm

Se n for ímpar o polinômio admite ao menos uma raiz real. Porém se for par

$\dpi{120} P(x)=x^n+x^{n-1}+...+x+1$

As possíveis raízes racionais de um polinômio podem ser formadas pela fração

$\dpi{120} \frac{p}{q}\rightarrow p\;é\;divisor\;de\;a_0\;(termo\;independente)\\.\hspace{23}\rightarrow q\;é\;divisor\;de\;a_n\;(coeficiente\;de\;x^n)$

sendo $\dpi{120} a_0=1$ e $\dpi{120} a_n=1$ as raízes reais só poderiam ser $\dpi{120} +1\;ou\;-1$ . Como nenhuma delas é raiz, então as raízes serão todas complexas. Note que se n fosse ímpar -1 seria raiz.

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