Cinemática III

Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9 m do gol, levantando a bola com velocidade inicial de 15 m/s. A altura da trave é de 2,4 m. Calcule:
a) a que distância mínima da trave, atrás do gol, um apanhador de bola pode ficar agachado;
b) a que distância mínima da trave devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar uma bolada.

Spoiler:

Primeiro vamos descobrir a equação do alcance A. Sendo α o ângulo entre a velocidade resultante e a velocidade no eixo das abscissas:

vcosα = v_x
vsenα = v_y

Sendo t o tempo até que a bola atinja a altura máxima e T o tempo até que ela caia, tem-se para a vertical:

0 = vsenα - gt
vsenα = gt
t = vsenα/g

T = 2vsenα/g

Para a horizontal, por sua vez:

A = vcosαT = vcosα(2vsenα/g) = 2v²senαcosα/g


a) SUPONDO que a bola passe pelo "travessão" (trave superior da goleira) - já que sem essa suposição a questão seria "irresolvível" - durante a DESCIDA (já que deseja-se a distância MÍNIMA):

h = vsenαt' - gt'²/2   (I)
s = vcosαt'   (II)

Há duas soluções, mas opta-se por aquela em que t' é maior (quando a bola estiver CAINDO); assim, fica-se com:

senαcosα = 1/241 sqrt(3 (2063-100 sqrt(141))) ≈ 0,212661

A = 2v²senαcosα/g ≈ 9,569745 ≈ 9,57 m

Subtraindo da distância do ponto onde se chuta o pênalti até a goleira: 9,57 - 9 = 0,57 m


b) Estou achando 9,68 m e o link abaixo corrobora com minha resposta.

http://plato.if.usp.br/~fep2195d/arquivos/Lista_02.pdf

Creio que seu gabarito esteja incorreto.

Christian, de onde tirou esse valor de senacosa?

E outra coisa: supondo a situação que você descreveu em a), se a bola passar não vai ser gol do mesmo jeito? Talvez deva só ignorar o que aconteceria no futebol real...

Do sistema de equações:

h = vsenαt' - gt'²/2   (I)
s = vcosαt'   (II)

h = 2,4 m
s = 9 m
v = 15 m/s
g = 10 m/s²

Há duas equações e duas incógnitas: α e t'.


É, a questão é meio estranha; ela supõe que a bola passe exatamente por onde o travessão se situa, sem desviar sua trajetória. Isso, ao meu ver, não geraria gol algum, mas certamente o que o enunciado propõe também não iria ocorrer - o correto seria a bola simplesmente colidir com a trave, invertendo o sentido de sua trajetória.

Na lista da USP consta: "Ele erra o chute, e a bola passa tocando levemente a trave (apesar disso a trajetóoria da bola não é alterada"; o que é bem surreal.

Ah, sim, por um segundo eu confundi esse problema com o outro postado, onde a velocidade não é um dado e, assim, teria incógnita a mais.

Esses três problemas de cinemática que postei foi justamente por isso: enunciado mal escrito e queria opinião sobre eles. Para mim, não faz sentido algum o apanhador dentro do gol.

Mas é isso aí, agradeço a resposta!