número complexo

(UFCG)Em um parque há uma pista de corrida no formato de uma circunferência de centro C e raio igual a 1 km e há também uma estrada formada pelo segmento AB que intercepta a pista de corrida conforme a figura abaixo:

Dois atletas treinando neste parque percorrem dois trajetos distintos. O primeiro atleta
sai do ponto A percorrendo a circunferência no sentido horário até chegar ao ponto B
e então percorre o segmento BA para retornar ao ponto A. O segundo atleta sai do
ponto A percorrendo a circunferência no sentido anti-horário até chegar ao ponto B e
então percorre o segmento BA para retornar ao ponto A. Cada atleta faz o seu
percurso apenas uma vez e a diferença entre o percurso do primeiro e do segundo atleta é de 3pi/2 km com pi = 3,14 . Sabendo que o comprimento D da estrada pode ser representado na forma D = l Z-1 l para algum número complexo Z, é correto afirmar que:

Bruno

Tomei a liberdade de corrigir seu enunciado: o símbolo km é com k minúsculo.

Seja x o arco AB maior e y o arco AB menor ----> x + y = 2*pi*R ---> x + y = 2*pi

x + D - (y + D) = 3*pi/2 ----> x - y = 3*pi/2

Somando as duas equações ---> 2x = 2*pi + 3*pi/2 ----> x = 7*pi/4 ----> y = pi/4

Trace os raios CA e CB ----> Ângulo A^CB = pi/4

Lei dos cossenos no triângulo ABC ----> AB² = CA² + CB² - 2*CA*CB*cos(pi/4) --->

D² = 1² + 1² - 2*1*1*(V2/2) ----> D² = 2 - V2 ----> I

D = |z - 1| ----> D = [a + bi - 1| ----> D = |(a - 1) + bi| ----> D² = (a - 1)² + b²

D² = a² + b² + 1 - 2a ----> II

Comparando termo a termo:

2a = V2 ----> a = V2/2 ----> III
a² + b² + 1 = 2 ----> a² + b² = 1 ----> IV

III em IV ----> (V2/2)² + b² = 1 ----> 1/2 + b² = 1 ----> b² = 1/2 ----> b = + - V2/2

Temos, portanto duas soluções para z:

z = V2/2 + i*V2/2 ---> z = (V2/2)*(1 + i) ---> z² = (1/2)*(2i) ---> z² = i ---> z^4 = -1

z = V2/2 - i*V2/2 --> z = (V2/2)*(1 - i) --> z² = (1/2)*(-2i) ---> z² = -i ---> z^4 = -1

Alterntiva C