MCUV
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MCUV
por Adrianod. Qua Mar 02 2016, 13:53
Um piloto está testando o desempenho de um automóvel em uma pista circular e verifica que, partindo do repouso, a primeira volta é concluída em 10 minutos. Admitindo que a aceleração angular é constante, determine o tempo compreendido entre o fim da segunda volta e o início da quarta.
R: Aproximadamente 3,2 minutos
Grato pela ajuda
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Adrianod.- Iniciante
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Re: MCUV
por Christian M. Martins Qua Mar 02 2016, 17:48
Inicialmente calcularemos qual a aceleração angular, utilizando os dados fornecidos pelo enunciado. Sendo φ o deslocamento angular, ω a velocidade angular e γ a aceleração angular:
φ =φ0 + ω0t + γt²/2
360 = γ600²/2
γ = 360/1,8x10^(5) = 2x10^(-3) rad/s²
Assim, podemos calcular qual a velocidade angular inicial da roda ao iniciar a terceira volta:
ω² =ω0² + 2γ∆φ
ω² = 2γ∆φ = 2*720γ
ω = sqrt(2*720*2x10^(-3)) = sqrt(2,88) rad/s²
Enfim, agora que já possuímos todas incógnitas necessárias ao cálculo, podemos obter qual o tempo necessário para que a roda complete a terceira rotação:
φ = φ0 + ω0t + γt²/2
1080 = 720 + sqrt(2,88)t + 2x10^(-3)t²/2
t = 190,702 s
190,702/60 ≈ 3,178 min ≈ 3,2 min
φ =
360 = γ600²/2
γ = 360/1,8x10^(5) = 2x10^(-3) rad/s²
Assim, podemos calcular qual a velocidade angular inicial da roda ao iniciar a terceira volta:
ω² =
ω² = 2γ∆φ = 2*720γ
ω = sqrt(2*720*2x10^(-3)) = sqrt(2,88) rad/s²
Enfim, agora que já possuímos todas incógnitas necessárias ao cálculo, podemos obter qual o tempo necessário para que a roda complete a terceira rotação:
φ = φ0 + ω0t + γt²/2
1080 = 720 + sqrt(2,88)t + 2x10^(-3)t²/2
t = 190,702 s
190,702/60 ≈ 3,178 min ≈ 3,2 min
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Re: MCUV
por Euclides Qua Mar 02 2016, 19:20
Apenas para acrescentar algo, há outro caminho para a solução. O tempo procurado é a diferença entre o tempo de conclusão da terceira e segunda voltas.
\;\text{calculando&space;}\alpha:\\\\\phi=\frac{\alpha&space;t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=2\pi,\;\;t=10\;min\;\;\to\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min "\\1)\;\text{calculando }\alpha:\\\\\phi=\frac{\alpha t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=2\pi,\;\;t=10\;min\;\;\to\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min")
\;\text{tempos&space;ao&space;fim&space;de&space;cada&space;volta&space;}:\\\\\phi=\frac{\alpha&space;t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=4\pi,\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min\\\\4\pi=\frac{\pi}{25}\cdot\frac{t_2^2}{2}\;\;\to\;\;t_2=10\sqrt{2}\;min\\\\\\\phi=\frac{\alpha&space;t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=6\pi,\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min\\\\6\pi=\frac{\pi}{25}\cdot\frac{t_3^2}{2}\;\;\to\;\;t_3=10\sqrt{3}\;min "\\2)\;\text{tempos ao fim de cada volta }:\\\\\phi=\frac{\alpha t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=4\pi,\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min\\\\4\pi=\frac{\pi}{25}\cdot\frac{t_2^2}{2}\;\;\to\;\;t_2=10\sqrt{2}\;min\\\\\\\phi=\frac{\alpha t^2}{2}\;\;\to\;\;\phi=6\pi,\;\;\alpha=\frac{\pi}{25}\;rad/min\\\\6\pi=\frac{\pi}{25}\cdot\frac{t_3^2}{2}\;\;\to\;\;t_3=10\sqrt{3}\;min")
\;\to\;t=10\times(1,73-1,41)\\\\t\approx&space;3,2&space;\;min "\\t_3-t_2=10(\sqrt{3}-\sqrt{2})\;\to\;t=10\times(1,73-1,41)\\\\t\approx 3,2 \;min")
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