A esfinge lógica

Um andarilho matemático encontrou, infelizmente, a esfinge. Ela andava preocupada com um problema, e ficando feliz em vê-lo, propôs-lhe este desafio:
Se ao multiplicarmos um número “n” por zero, estamos somando o zero “n” vezes, temos:
3.0=0+0+0=0
2.0=0+0=0
1.0=0
Então quanto seria 0.0=? Isto é, como repetir zero vezes o zero? Como você me prova isso?

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Conceito do número zero = é aquele número "k" que quando somado a um número "n" qualquer tem-se como soma o próprio "n". Isto é:
k+n=n
0+5=5
0+0=2.0=0
1.0=0=0

0*0 é uma indefinição. Não vou nem tentar provar. Mas vou tentar justificar.

Suponha que você tem uma caixa mágica com a seguinte propriedade: uma vez colocada lá qualquer quantidade, se retirarmos essa quantidade (e só o podemos fazer completamente) ela sempre a repõe.

Inicialmente a caixa está com 4 bolinhas.
se não retiramos as 4 bolinhas, ficamos com: 0*4 = 0 ;
se retiramos as 4 bolinhas, ficamos com: 1*4 = 4 ;
se, novamente, retiramos as 4 bolinhas (repostas pela caixa), ficamos com: 2*4 = 8 ;
etc.
Está claro que pode-se retirar ou não as 4 bolinhas. Se optamos por não retirar, estamos tomando zero vezes o conteúdo da caixa.

Porém, se a caixa estiver originalmente vazia (zero bolinhas), não temos mais a opção da retirada -- só temos opção de retirar o que existe. Logo, não podemos não retirar nenhuma bolinha. Ou seja, não tem sentido (e por isso não se define) 0*0.

Note que isso é diferente de: a caixa tem, originalmente, zero bolinhas e:
levamos a mão 1 vez à caixa para retirar bolinhas, ficando com: 1*0 = 0 ;
levamos a mão uma segunda vez para retirar bolinhas, ficando com: 2*0 = 0;
etc.

Olá, Grand Medeiros.

Muito obrigado pela resposta.

Está sugerindo, na verdade, que há uma definição para 0.0, que seria 0. Isto é, 0.0=0. Vejamos:

1)
A situação apresentada dá-se pela fórmula:

m.c = R

a)
Em que o número de bolinhas, após a introdução da mão na caixa, é "R".

b)
"c" é conteúdo da caixa, ou seja, é o número de bolinhas na caixa.

c)
"m" é a opção de retirar, ou não retirar bolinhas da caixa.
quando m = 0, temos a "opção de não retirar".
quando m > 0, temos a "opção de retirar".

2)
2.1)
Se desejarmos retirar (m > 0), então podemos ter:
*quando c > 0,temos R > 0
*quando c = 0,temos R = 0

2.2)
Se desejarmos não retirar bolinhas (ou seja, m = 0), isso quer dizer que não importa o conteúdo da caixa ( se c = 0, ou c > 0), pois ao não retirarmos bolinhas da caixa, temos R = 0, isto é, teremos 0 bolinhas nas mãos.
Isto é,
m.c = R
m = 0 --> R = 0
0.c = 0
seja qual for "c".

Olá,
Achei uma prova para a conclusão acima.

Sabendo que a multiplicação é uma soma, quanto seria 0.0?
2.0=0+0
1.0=0
0.0=(1-1)(1-1)
0.0=1-1-1+1
0.0=0+0=2.0=0

Generalizando:

Para "k" diferente de zero,
0.0=(k-k)(k-k)
0.0=k²-k²-k²+k²
0.0=0+0=0
Isso implica que n.0=0, qualquer que seja o "n".

Meu caro Viníciuscoelho,
por favor, não ponha palavras na minha boca. Não estou sugerindo nada. Muito pelo contrário, iniciei dizendo que "0*0 é uma indefinição", ou seja, não se define, não existe, certo?

"... podemos dizer que, assim como uma instância de multiplicação não constitui um número, tampouco um argumento não é um enunciado. Um argumento é uma operação que efetuamos com enunciados, um pouco à maneira como um passe é uma operação que efetuamos com uma bola de futebol." [Gilbert Ryle, do ensaio "Se, portanto e porque", 1963. G. Ryle é filósofo do grupo de Oxford, autor de Expressões sistematicamente enganadoras.]

Na analogia que eu havia feito, a opção de retirar é a própria instância de multiplicação. O argumento (ou variável) seria o número de vezes em que exercemos essa opção.

Na fórmula que esboças (m.c = R), essa instância de multiplicação foi transformada numa variável (m). E foi criada uma nova multiplicação (de m por c). E não foi isso o que eu disse!

Acredito que deixei um parágrafo mal formado, dando azo à confusões, e vou refazê-lo abaixo.

original:

Porém, se a caixa estiver originalmente vazia (zero bolinhas), não temos mais a opção da retirada -- só temos opção de retirar o que existe. Logo, não podemos não retirar nenhuma bolinha. Ou seja, não tem sentido (e por isso não se define) 0*0.

correção:

Porém, se a caixa estiver originalmente vazia (zero bolinhas), não temos mais a opção da retirada temos somente a opção de retirar zero bolinhas, não temos mais a opção de não retirar o que não existe lá -- só temos opção de retirar o que existe. Logo, não podemos não retirar nenhuma bolinha. Ou seja, não tem sentido (e por isso não se define) 0*0.

Repetindo minha opinião, só para ficar bem claro: não existe 0*0. E o que não existe aqui é a instância de multiplicação (pois que existe a idéia de quantidade zero).

Abs.

Devo admitir que comecei esse texto com essa dúvida: como posso multiplicar zero por zero. Ainda não estou convencido de nada, nem mesmo do meu argumento 2, por isso vamos ver onde a dialética vai nos levar.

Medeiros escreveu:Meu caro Viníciuscoelho,
por favor, não ponha palavras na minha boca. Não estou sugerindo nada. Muito pelo contrário, iniciei dizendo que "0*0 é uma indefinição", ou seja, não se define, não existe, certo?

Na analogia que eu havia feito, a opção de retirar é a própria instância de multiplicação. O argumento (ou variável) seria o número de vezes em que exercemos essa opção.

Na fórmula que esboças (m.c = R), essa instância de multiplicação foi transformada numa variável (m). E foi criada uma nova multiplicação (de m por c). E não foi isso o que eu disse!

Tem toda razão, Mestre Medeiros. Interpretei mal o que disse. Depois, li e reli o que disse no parágrafo corrigido e tirei algumas conclusões.

i)Argumento I

A conclusão que tivera no seu texto original:

Note que isso é diferente de: a caixa tem, originalmente, zero bolinhas e:
levamos a mão 1 vez à caixa para retirar bolinhas, ficando com: 1*0 = 0 ;
levamos a mão uma segunda vez para retirar bolinhas, ficando com: 2*0 = 0;
etc.

Chamemos essa conclusão de "ponto A".

Em relação ao parágrafo corrigido, temos:

Porém, se a caixa estiver originalmente vazia (zero bolinhas), não temos mais a opção da retiradatemos somente a opção de retirar zero bolinhas, não temos mais a opção de não retirar o que não existe lá -- só temos opção de retirar o que existe. Logo, não podemos não retirar nenhuma bolinha. Ou seja, não tem sentido (e por isso não se define) 0*0.

Síntese Geral:

temos somente a opção de retirar zero bolinhas, não temos mais a opção de não retirar o que não existe lá

Argumento:
B.1:

só temos opção de retirar o que existe

B.2:

Logo, não podemos não retirar nenhuma bolinha

Lógica Condicional

Se B.1 é V, então B.2 é V. (V)
Se B.1 é F, então B.2 é V. (V)

O argumento será válido se as premissas são verdadeiras.

Acontece que B.1 não é V, pois contradiz o ponto A, que é verdadeiro. Pois é dito que temos só a opção de retirar o que existe, e isso é feito no ponto A.


ii)Argumento II
Argumento matemático

Pode-se escrever o "0" de diversas maneiras, 0=(5-5), 0=(3-3), ...
Se desejamos multiplicar esses número, temos:
0.0=(5-5)(3-3)
0.0=(5-5)(3-3)=15-15-15+15
0.0=(5-5)(3-3)=0

Prezado Vinícius Coelho,
minha argumentação é realmente deficiente, como você mostrou. Isso deixa-me claro dois fatos.

fato 1: percebo-me incompetente para lhe mostrar e convencer, de forma cabal e definitiva, que não se define 0*0; ou seja, 0*0=?.

fato 2: na verdade, não se define 0*0.

Apesar de ser verdade o "fato 1", ele não invalida o "fato 2". São dois fatos (verdadeiros).

Abs.

Desculpe-me a resposta atrasada.

Muito obrigado, Medeiros, por sua sinceridade e grandeza.

Abraços