Logica

Não entendi muito bem o enunciado.

Mostre que é possível dispor os números de 1 a 16 em sequência de modo que
a soma de dois números vizinho seja sempre um número quadrado perfeito.

seja a sequência a1 a2 a3 a4 ... a16,devemos provar que nessa sequencia quando somamos os vizinhos ex:
a1+a2 ou a3+a4,etc...

com os números de 1 até 16, as domas irão de 1+2=3 até 15+16=31, nesse intervalo temos:
2²=4
3²=9
4²=16
5²=25
logo todas as somas deverão ser 4,9,16,25. Veja que o número 16 só pode ficar do lado do "9" pois dos quadrados perfeitos possíveis o único que o 16 pode formar é 25 (16+9).

16_9____________------> falta completar o resto.
Faça os pares solução de:
ai+aj=4-------> o par é {1,3} por exemplo
ai+aj=9
ai+aj=16
ai+aj=25
e tente achar uma sequencia.

Obrigado.

Além dos casos especiais 16-9 e 9-16, existem

1-3, 1-8, 1-15
2-7, 2-14
3-1, 3-6, 3-13
4-5, 4-12
5-4, 5-11
6-3, 6-10
7-2, 7-9
8-1
9-7
10-6, 10-15
11-5, 11-14
12-4, 12-13
13-3, 13-12
14-2, 14-11
15-1, 15-10

O difícil é saber com qual número começar a série

Mestre Elcio, a série deve começar (ou terminar) com 16, pois caso contrário o 16 teria 2 vizinhos, mas o único quadrado perfeito que o 16 pode formar é 25 (16+9), assim não seria possível ter a sequência, logo 16 está em uma das pontas.

Pedro: concordo contigo, mas existe um problema:

a) Começando por 16

16 - 9 - 7 - 2 - 14 - ? ---> Não existe número para colocar após o 14

b) Terminando por 16

.......... ? - 14 - 2 - 7- 9 - 16 ---> Não existe número para colocar antes do 14

Isto pode significar duas coisas:

1) O problema não tem solução

2) O enunciado tem algum erro; por exemplo:

2.1) o número zero faz parte da série: 16 - 0 - 9 .... ou ... 9 - 0 - 16 ou 16 - 0 - 4 ... ou .... 4 - 0 - 16 ou 16 - 9 - 0 - 4 .... ou ... 4 - 0 - 9 - 16 etc.

2.2) Faltou a palavra não no enunciado: "Mostre que não é possível dispor ..."

Se for a hipótese 2.2 já está provado que é impossível

O que você acha?

o 11 pode ficar do lado do 14, uma sequência completa é:

16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8

Uma dica dada é:a
sequência deve ser iniciada por 8 ou 16.

Se existia "dica" por que não a deu antes? Agora, depois do trabalho dos colegas e da dica, fica fácil.

8 - 1 - 15 - 10 - 6 - 3 - 13 - 12 - 4 - 5 - 11 - 14 - 2 - 7 - 9 - 16.

Realmente, na minha listagem, faltaram 6 pares. Já editei, em vermelho.