Progressão aritmetica

Sendo a₁=log₃ x, a₂=log₉ 3x, a₃=log₂₇ 27x. Forme nesta ordem uma Progressão aritmética. Sendo a_{1 +} a_{2 +} a₃

Para termos uma progressão aritmética devemos ter:
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = r


mas a₁ = log₃ x, a₂ = log₉ 3x, a₃ = log₂₇ 27x então:

log₉ 3x - log₃ x = log₂₇ 27x - log₉ 3x


Antes de aplicarmos qualquer propriedade operatória devemos estabelecer a condição de existência dos logaritmos, assim sendo devemos ter:
(I)                 3x > 0
(II)               x > 0
(III)             27x > 0
(IV)             3x > 0
Isso implica em x > 0
Resolvendo a equação para x > 0, temos:


log₉ 3x - log₃ x = log₂₇ 27x - log₉ 3x => ½ log₃ 3 + ½ log₃ x – log₃ x = log₂₇ 27 + 1/3log₃ x - 1/2log₃ 3 – 1/2log₃ x => 1/3 log₃ x = 0 => log₃ x = 0 => x = 1


a₁ = log₃ x => log₃ 1 = 0
a₂ = log₉ 3x => log₉ 3(1) = ½
a₃ = log₂₇ 27x => log₂₇ 27(1) = 1


a₁ + a₂ + a₃ = 3/2 ou,
Sendo r = ½  e aplicando a fórmula soma para calcular a soma S_n dos n termos inicias de uma P.A. obtemos: S₃ = 3(0) + 3(2) x ½ x ½ = 3/2