Produtos Notavéis

Em uma aula sobre produtos notáveis, um professor pediu aos seus alunos para encontrar o valor da expressão a seguir, permitindo o uso da calculadora caso quisessem.

100²-99²+98²-97²+96²-95²+...+2²-1²

Um aluno, a partir de um dos produtos notáveis que aprendeu, calculou o valor correto da expressão sem usar a calculadora, encontrando:

a) 5050
b) 8750
c) 10500
d) 15500
e) 22500

Desde já agradeço.

Att Márcio.

Juntando temos equidistantes dos extremos:

100² - 1² = (100 - 1).(100 + 1) = ......99.101
- 99² + 2² = (2 - 99).(2 + 99) = ..... - 97.101
98² - 3² = (98 - 3).(98 + 3) =...... .... 95.101
- 97² + 4² = (4 - 97).(4 + 97) = ......- 93.101
.................................................................
52² - 49² = (52 - 49).(52 + 49) = ....... 3.101
- 51² + 50² = (- 51 + 50).(50 + 51) = -1.101

E = 99.101 + 95.101 + 91.101 + ...... + 3.101 - 97.101 - 93.101 - 89.101 - ..... - 1.101

E = 101.[(99 - 97) + (95 - 93) + (91 - 89)  + .... + (3 - 1)]

E = 101.(2 + 2 + 2 + .... 2) ---> Temos uma soma de 25 algarismos 2 ---> E = 101.(25.2) ---> E = 5050

100² + 98² + 96² + ... + 2² - (99² + 97² + 95² + ... + 1²)

a soma dos 50 pares: Sn = (100² + 2²)50/2 = 250100

a soma dos 50 ímpares: Sn = (99² + 1²)50/2 = 245050

como o total é a diferença dos pares pelos ímpares, então: 250100 - 245050 =5050

uninilton

Você tratou como sendo a soma dos termos de uma PA
Mas não provou que é uma PA. Vamos ver se é:

a1 = 100² = 10 000
a2 = . 98² = .9 604
a3 =...96² = .9 216

Se for PA ---> a1 + a3 = 2.a2 ---> 10 000 + 9 216 = 2.9604 ---> 19 216 = 19 208 ---> Não é PA

(100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+...+(2-1).(2+1)

199+195+...+3
r=4

An=a1+(n-1)r
3=199-4n+4
200=4n
n=50

Sn=[(a1+an)n]/2
Sn=(199+3).25
Sn=5050

Agora sim, chegou-se numa PA !!!

Elcioschin escreveu:Juntando temos equidistantes dos extremos:

100² - 1² = (100 - 1).(100 + 1) = ......99.101
- 99² + 2² = (2 - 99).(2 + 99) = ..... - 97.101
98² - 3² = (98 - 3).(98 + 3) =...... .... 95.101
- 97² + 4² = (4 - 97).(4 + 97) = ......- 93.101
.................................................................
52² - 49² = (52 - 49).(52 + 49) = ....... 3.101
- 51² + 50² = (- 51 + 50).(50 + 51) = -1.101

E = 99.101 + 95.101 + 91.101 + ...... + 3.101 - 97.101 - 93.101 - 89.101 - ..... - 1.101

E = 101.[(99 - 97) + (95 - 93) + (91 - 89)  + .... + (3 - 1)]

E = 101.(2 + 2 + 2 + .... 2) ---> Temos uma soma de 50 algarismos 2 ---> E = 101.(50.2) ---> E = 10100

Suponho que a alternativa C está digitada errada

Elcioschin, acho que você cometeu um pequeno erro.
No começo tinha 100 números (100² -99² + 98² + ... + 2² - 1²)
Após você fazer a parte de vermelho,"juntando" os números de dois em dois, o total de números "caiu" a metade indo para 50.
Após ter feito a parte de azul, "juntado" de novo os números de dois em dois, o total de números "caiu" a metade de novo indo para 25 dessa vez.
Com isso será a soma de 25 números 2, ficando com a resposta fina de 101.(25.2) = 5050.
Acho que é isso, corrija-me se eu estiver errado.

Você está certíssimo Fontecele. Eu percebi isto assim que vi a solução do  joaowin3.
Obrigado pelo alerta. Já editei minha solução original, em vermelho.