Combinação Completa

Quantas são as soluções inteiras positivas de x+y+z+w =10?

O jeito mais fácil que eu conheço de fazer isso é o seguinte:

Imagine dois elementos: Bolas(O) e X's. Onde as O são unidades e os X são separadores. 

A soma das incógnitas será 10, logo temos 10 bolas: 
O O O O O O O O O O. 

Temos 4 incógnitas, logo queremos dividir as unidades em 4 partes. Para isso, usaremos 3 separadores:
_X_X_X_

Esses traços são só pra ilustrar que os X vão dividir as unidades em 4 partes, uma antes do primeiro X, duas entre um X e outro; e mais uma depois do último X. Cada um desses espaços representará uma das incógnitas.

*Observe, então:

O O O X O O X O O X O O O

Isso representa o resultado: x=3; y=2; z=2; w=3

*O próximo representa o resultado: x=0; y=0; z=0; w=10

X X X O O O O O O O O O O

Perceba que se permutarmos esses elementos teremos todos os resultado inteiros e positivos possíveis. Mas perceba também que temos elementos repetidos, então usaremos a fórmula da permutação com repetição.

*Permut. de 13 elem. com repetição de 10 e 3 = 13!/(10!3!) = 286