Questão da UERJ

por valeriasjs Dom 28 Jun 2015, 20:31

Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir: Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. O número de arestas dessa estrutura é igual a:

a) 90
b) 120
c) 150
d) 180

Questão da UERJ 34j7hwy

por RamonLucas Dom 28 Jun 2015, 21:16

O icosaedro tem 20 faces triangulares. Depois de inflado, ao obtermos a geodésica, cada face dividiu-se em 4 triângulos equiláteros. Portanto, a geodésica tem 4·20 faces (80 faces).

Para esse poliedro, valem as relações:

V-A+F=2 (V é o número de vértices do poliedro, A é o número de arestas e F é o número de faces.)

n·F=2A (n é o número de arestas de cada face)

m·V=2A (m é o número de arestas de cada ângulo poliédrico)

Utilizando a segunda relação (n·F=2A), temos:

3·80=2A (as faces são triângulos, cada um com 3 arestas)

240=2A

A=120 arestas

Opção certa: (B)