Questão P.A uerj

(UERJ-1998) Geraldo contraiu uma dívida que deveria
ser paga em prestações mensais e iguais de R$ 500,00 cada
uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de
correção monetária. Um mês após contrair essa dívida,
Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada
uma das demais prestações seria sempre igual ao da
anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais,
sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser
liquidada na metade do tempo inicialmente previsto.
a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente
previsto, t > 2 e t - 2 como um divisor par de 2000,
demonstre que K = 2000/t-2

b) Se a dívida de Geraldo for igual a R$ 9000,00, calcule o
valor da constante K.



Necessito da questão bem explicada, já a encontrei por ai, porém, sem boa explicação. Pfvr.

a) Observe que a divida de Geraldo (D) será igual ao valor de cada parcela mensal vezes o numero de meses ao qual ele deve pagar estas parcelas, ou seja, D = 500.t

Optando por pagar cada parcela como o valor da parcela paga no mês anterior acrescida de um valor constante k, ele pagara sua divida na metade do tempo (t/2), e assim:
D = 500 + [500 + k] + [500 + 2k] + ... + [500 + (t/2 - 1)k] --> sendo uma P.A. de n = t/2 termos --> D = [500 + 500 + (t/2 - 1)k].(t/2)/2

Igualando D nas duas situações:
500.t = [500 + 500 + (t/2 - 1)k].(t/2)/2 --> cancelando t --> 500 = [500 + 500 + (t/2 -1)k].(1/2)/2 --> 2000 = 1000 + (t/2 -1)k --> k = 1000/(t/2 -1) = 1000.2/(t - 2) = 2000/(t - 2)


b) Como D = 500.t, para D = 9000 --> 9000 = 500.t --> t = 9000/500 = 18 meses

Substituindo t em k = 2000/(t - 2) --> k = 2000/(18 - 2) = 2000/16 = 125