Funções

Alguém me ajudaria? Sei que é simples, mas eu tenho dificuldade em matemática

Qual é a condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2º grau f(x)=ax²+bx+c tenha sinal constante em ℝ?




Bem, para ser constante f(x)=0? Ou o a=0? Ou dá no mesmo? E depois disso o que eu preciso saber para resolver a questão?

A resposta do gabarito é:
 ∆ <0 e {a>0⇔ f(x)>0 ∀x∈ ℝ
           {a<0 ⇔f(x)<0, ∀x∈ ℝ

Se o trinômio f(x)=ax²+bx+c possui sinal constante, significa que f(x) será sempre negativo ou sempre positivo.

1º Caso: f(x)<0 ∀x∈ ℝ
∆<0 (o trinômio não possui raiz)
a<0 (a função possui concavidade voltada para baixo)
Neste caso o gráfico da função estará abaixo do eixo das abscissas

2º Caso: f(x)>0 ∀x∈ ℝ
∆<0 (o trinômio não possui raiz)
a>0 (a função possui concavidade voltada para cima)
Neste caso o gráfico da função estará acima do eixo das abscissas

Observe que em qualquer um dos casos teremos ∆<0, consequentemente a função não terá raiz real, e o sinal de f(x) será constante (ou positivo ou negativo).

Rexory

Há necessidade de corrigir dois termos de sua solução

Ao invés de "a função é decrescente", o correto é: a função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo

e

Ao invés de "a função é crescente", o correto é: a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima

Isto porque, ambas as parábolas tem partes crescentes e decrescentes.

Elcioschin escreveu:Rexory

Há necessidade de corrigir dois termos de sua solução

Ao invés de "a função é decrescente", o correto é: a função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo

e

Ao invés de "a função é crescente", o correto é: a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima

Isto porque, ambas as parábolas tem partes crescentes e decrescentes.

Mestre Elcioschin, pode me tirar a seguinte dúvida? Porque é necessário impor que a > 0 <-> f(x) > 0 e a < 0 <-> f(x) < 0, mesmo depois de já ter imposto Δ < 0? Não entendo por que não bastaria apenas impor Δ < 0 e a ≠ 0. O enunciado pede a condição necessária e suficiente para que o trinômio tenha sinal constante no conjunto dos reais.

Muito obrigado desde já!

Concordo contigo: f(x) > 0 ou f(x) < 0 não é uma condição: é apenas uma consequência das condições:

Se ∆ < 0 e {a > 0 ⇔ f(x) > 0 
............... {a < 0 ⇔ f(x) < 0 

Elcioschin escreveu:Concordo contigo: f(x) > 0 ou f(x) < 0 não é uma condição: é apenas uma consequência das condições:

Se ∆ < 0 e {a > 0 ⇔ f(x) > 0 
............... {a < 0 ⇔ f(x) < 0 

Mas por que é necessário impor a > 0 ou a < 0? A condição ∆ < 0 e a ≠ 0 não bastaria por si só? Não consigo visualizar isso... Parece redundante para a minha percepção ter de afirmar que a > 0 ou a < 0 depois de já ter afirmado ∆ < 0. Relendo assim, acho que a > 0 ou a < 0 é a mesma coisa que apenas dizer a ≠ 0 mesmo... Nessa questão, a minha resposta foi: ∆ < 0 e a ≠ 0. Só isso seria uma resposta correta?


Obrigado pelo esforço em me ajudar, amigo! Abraço!

Eu entendo que a condição pedida é que o trinômio não possua raízes (reais).
Só para esclarecer: se ele possui raízes ele corta o eixo dos "X", isto é, muda de sinal. Caso as duas raízes sejam iguais, ele apenas toca o eixo X em um ponto onde y=0 e eu tomo zero como não positivo e não negativo.

1) Para a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima. Como ∆ < 0 a parábola fica toda acima do eixo x, isto é, f(x) > 0

2) Para a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Como ∆ < 0 a parábola fica toda abaixo do eixo x, isto é, f(x) < 0

De qualquer maneira, no final é a ≠ 0