Funções

Seja f: ℕ→ ℕ definida por:


ƒ(n)= n-3    n≥ 1000
ƒ(n)= ƒ(ƒ(n+6)   n<1000



Então o valor de f(1992)- f(1)=




a)989
b)992
c)1988
d)1991
e)Indefinido


Obs.: Gabarito letra B

Calculemos f(1):

[latex]1 < 1000, f(1) = f(f(7)) \text{||||} (fo f)(x), x =1
7 < 1000, f(7) = f(f(13)), f(1) = f(f(f(13))) \text{|||| } ((f o f) o f )(x), x =7
13 < 1000 , f(13).... [/latex]

Notemos que toda vez que a gente vai calcular um f(x) com x < 1000 temos que compor a função inicial com mais uma função f (em cada linha eu coloquei a função equivalente dessas composições) e, ao mesmo tempo, a o valor de input cresce 6 unidades em relação ao anterior.

Só conseguimos saber o valor exato de um f(x) instantaneamente se [latex]x \ge 1000[/latex], o valor inicial é 1 pulando de 6 em 6 (nota: temos uma PA aqui) o primeiro termo maior que 1000 será 1003 que é o 167º termo dessa sequência, ou seja f(1) é igual a a composição de 167 funções f(x) quando x = 1003.

Vamos criar a seguinte notação a composta de n funções f(x) será representada por f_n(x) com [latex]n \ge 1[/latex], assim f₃, por exemplo, é ((f o f) o f )(x).

Uma rodada de simplificações: [latex]f(1) = f_{167}(1003) = f_{166}(1000) = f_{165}(997) = f_{166}(1003)[/latex]

Nessa primeira rodada conseguimos reduzir [latex]f_{167}(1003)[/latex] para [latex]f_{166}(1003)[/latex]. De maneira análoga poderíamos reduzir [latex]f_{166}(1003)[/latex] para [latex]f_{165}(1003)[/latex], e assim por diante(comentário: caímos outra vez em uma recorrência). O único cuidado que temos que ter aqui é que durante uma rodada que começa com n de composições esse número oscilará para n-1 e n-2. Para que as simplificações executadas estejam definidas temos que ter [latex]n-1 \ge 1, n-2 \ge 1[/latex] (isso porque só definimos os sobrescritos naturais não-nulos), ou seja [latex]n \ge 3[/latex]. Assim podemos dizer seguramente que [latex] f_{3}(1003) = f_{2}(1003)[/latex] mas nunca que [latex]f_{2}(1003) = f_{1}(1003) = f_{0}(1003)[/latex]

[latex]f(1) = f_{167}(1003) = f_{2}(1003) \implies f(1) = f_{1}(1000) = 997 \implies \\ f(1992) - f(1) = 992[/latex]

Bons estudos

Valeu