Triângulos

Ashitaka, já fui razoavelmente capaz em trigonometria mas agora não estou conseguindo acompanhar. Você poderia, por favor, desenvolver as passagens (1) e (2) indicadas abaixo?

Claro que sim, qualquer coisa a mais que não tiver entendido é só dizer (:
(I) O sr. deve lembrar das transformações de soma em produto, que vem diretamente das equações de soma de arcos:

Usando a da subtração de senos, fica:
sen120 - sen40 = 2sen[(120-40)/2]*cos[(120+40)/2] = 2sen40*cos80
(II) Trata-se de uma identidade extremamente útil que aprendi recentemente, veja que é verdadeira:
4cosx*cos(60+x)*cos(60-x) =
= 4cosx*(cos²60*cos²x - sen²60sen²x)
= 4cosx*(1/4 * cos²x - 3/4 * sen²x)
= cosx*(cos²x - 3sen²x)
= cosx(cos²x - 3 + 3cos²x)
= cosx(4cos²x - 3)
= 4cos³ - 3cosx
= cos(3x), (caso não lembre de cos(3x), basta fazer cos(2x+x) para verificar; normalmente as pessoas não sabem essa de cor pois é de pouca utilização).

Agora note que que 4cos20*cos40*cos80 é 4cos20*cos(60-20)*cos(60+20), que é exatamente o da identidade, logo, é igual a cos(3*20) = 1/2.

Nota: existe uma identidade idêntica àquela, mas com seno no lugar de cosseno. Dividindo uma identidade pela outra, você chega na equivalente para tangente e cotangente.

Muito obrigado, Ashitaka.

As transformações de soma em produto não sei de cor e nem lembrava -- acho que faltei nessa aula (a meio século atrás) -- mas ficou muito claro.

Mas NÃO consigo chegar na igualdade
4cos³(x) - 3cos (x) = cos (3x).
Já havia tentado bastante antes de lhe fazer o pedido anterior e tentei novamente agora, inclusive partindo do fim e o máximo que chego é em
cos(3x) = 2cos³(x) - cos (x).
Como você fez?

Abs.

cos(3x)
= cos(2x+x)
= cos(2x)cos(x) - sen(2x)sen(x)
= [2cos²x-1]cos(x) - (2senxcosx)senx
= [2cos³x - cosx - 2cosxsen²x
= 2cos³x - cosx - 2cosx(1-cos²x)
= 2cos³x - cosx + 2cos³x - 2cosx
= 4cos³x - 3cosx

Obs: cos(2x) = cos(x+x) = cosx*cosx - senx*senx = cos²x - sen²x = cos²x - (1-cos²x) = 2cos²x - 1.

Ashitaka,
estou até com vergonha! Tentei, agora, refazer meu caminho anterior só para ver e lhe mostrar onde havia errado e não consegui repetir meu resultado anterior. Sua exposição é cristalina e agora até eu chego ao mesmo lugar.

De novo, encarecidamente, muito obrigado.

Medeiros escreveu:Ashitaka,
estou até com vergonha! Tentei, agora, refazer meu caminho anterior só para ver e lhe mostrar onde havia errado e não consegui repetir meu resultado anterior. Sua exposição é cristalina e agora até eu chego ao mesmo lugar.

De novo, encarecidamente, muito obrigado.

Poxa, por favor não se envergonhe. Esse tipo de coisa acontece com todos nós com coisas mais simples ainda. Sei como é isso de não conseguir achar o erro depois de ver o certo hahaha. De nada, qualquer coisa é só falar.
Abraços.