Triângulos

xx

Infelizmente não tenho a resolução. A resposta é 2.

também cheguei na seguinte relação para achar o valor de AB-AC

BP²+AP.BP-BC.AP

agora não sei como continuar e utilizar o valor da reta PC :S

∆ ABC ---> BÂC+ A^BC + A^CB = 180º ---> 20º + 40º + A^CB = 180º ---> A^CB = 120º

A^CP = B^CP = A^CB/2 ---> A^CP = B^CP = 60º

∆ ACP ---> A^PC = 100º ---> B^PC = 80º (ângulo raso)

Lei dos senos nos triângulos ACP e BCP:

2/sen20º = AP/sen60º = AC/sen100º

2/sen40º = PB/sen60º = BC/sen80º

Deixo as contas para você fazer. Lembre-se que

sen60º = sen120º = √3/2
sen100º = sen80º
sen40º = sen(20º + 20º)
sen80º = sen(40º + 40º)

entendido , tentei usar lei dos coss , tinha esquecido da lei do sen.
obrigado.

Raimundo, apesar do posteriormente anunciado gabarito "2", não vejo nada errado na sua solução, então acho-a correta.   :bball:

Pena que, conforme comportamento anterior autoriza prever, agora que a questão tem uma resposta, ela será apagada. Exemplo:
https://pir2.forumeiros.com/t86995-area-de-triangulo
Por isso vou copiar a questão enquanto há tempo.

Flavinha83 escreveu:Dado o triângulo ABC, CP = 2, ângulo (ACP) = ângulo (BCP) , BAC 20º , ABC = 40º. Determine AB - AC

Flavinha83 escreveu:Infelizmente não tenho a resolução. A resposta é 2.

Como eu não sei fazer construções mágicas e criativas como o Raimundo fez (e que construção!), então apelo à trigonometria:
∆ABC
AB/sen120 = AC/sen40
(AB - AC)/(sen120 - sen40) = AC/sen40
AB - AC = AC(sen120 - sen40)/sen40 (I)

∆APC
CP/sen20 = AC/sen100 = AC/sen80 ---> AC = 2sen80/sen20 (II)

Usando (II) em (I):
AB - AC = 2sen80(sen120-sen40)/(sen20*sen40)
AB - AC = 4sen40cos40(2sen40cos80)/(sen20*sen40)
AB - AC = 4cos40(2sen40cos80)/(sen20)
AB - AC = 4cos40(4*sen20*cos20*cos80)/(sen20)
AB - AC = 16cos20*cos40*cos80

Agora notem que: 4cosx*cos(60+x)*cos(60-x) = cos(3x). Logo, fazendo x = 20°:

AB - AC = 4*(cos60)
AB - AC = 2.

Ôoopa! Valeu, Ashitaka. :bball:
Chegaste ao gabarito mas o pior (pra mim) é que ainda não descobri falha na solução do Raimundo.